Desigualdad sobre los valores propios de la matriz de bloques simétrica

Question

Permita que$ M = \left( \begin{array}{cc} A & B \\ B^T & C \end{array} \right)$ sea una matriz simétrica real ($A, C$ son matrices simétricas). Permitir que$\lambda_m$ y$\lambda_M$ denoten los valores mínimos y máximos de$M$, y$\mu_A$ y$\mu_C$ denotar, respectivamente, los valores propios máximos de$A$ y$C$.

Muestra esa $\lambda_m+\lambda_M \leq \mu_A + \mu_C$.

Acabo de obtener una pista de los demás: considere la matriz semidefinida positiva$ M - \lambda_m I$. Tal vez hay otros métodos.

Answer 1

Aquí tengo que seguir la pista y dar una respuesta. Asumamos primero que $ M $ es positivo semi-definida y demostrar que $\lambda_M \leq \lambda_A + \lambda_B $.

Vamos $z=\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\in \mathbb{R}^n$, $x\in \mathbb{R}^s, y\in \mathbb{R}^t$, $s, t$ el orden de las matrices de $A$$C$.

Tomar una unidad autovector $z_M=(x_M, y_M)$ $M$ asociado con $\lambda_M$. Entonces tenemos $$\lambda_M=z_M^T Mz_M=x_M^T A x_M + 2x_M^T B y_M + y_M^T Cy_M.$$ Tenga en cuenta que $A$ $C$ son ahora también positiva semi-definida, lo que implica que $\lambda_A\geq 0$$\lambda_C\geq 0$.

Si $x_M=0$, luego tenemos a $y_M^Ty_M=1$$\lambda_M \leq y_M^T CY_M \leq \lambda_C y_M^Ty_M = \lambda_C \leq \lambda_A+\lambda_C$.

Si $y_M=0$, luego tenemos a $x_M^T x_M=1$$\lambda_M \leq x_M^T A x_M \leq \lambda_A x_M^Tx_M = \lambda_A \leq \lambda_A+\lambda_C$.

Ahora suponemos que $x_M\neq 0, y_M\neq 0$. Considere la posibilidad de $z(s,t)=\left[\begin{array}{c}sx_M\\ty_M\end{array}\right]\in \mathbb{R}^n$.

Por la asunción de positiva semi-definteness, tenemos $$0\leq s^2 x_M^T A x_M +2st x_M^TBy_M+t^2 y_M^T C y_M.$$ La combinación de estos dos rendimientos $$\lambda_M \leq (1+s^2) x_M^T A x_M +2(st+1) x_M^TBy_M+ (1+t^2) y_M^T C y_M.$$ Tome $s=\sqrt{\dfrac{y_M^Ty_M}{x_M^T x_M}}$$t=-\sqrt{\dfrac{x_M^T x_M}{y_M^Ty_M}}$. Por lo tanto, $st=-1$, eliminando la cruz términos, $$\lambda_M \leq \frac{x_M^T A x_M}{x_M^T x_M} + \frac{y_M^T C y_M}{y_M^T y_M}\leq \lambda_A+\lambda_C.$$ En general, $M$ puede no ser positivo semi-definida, y consideramos a $M'=M-\lambda_m I$. Aquí tenemos $$\lambda_M'=\lambda_M-\lambda_m,\quad\lambda_A'=\lambda_A-\lambda_m, \quad \lambda_C'=\lambda_C-\lambda_m.$$ La aplicación de la anterior probada la proposición a$M'$,$\lambda_M'\leq \lambda_A'+\lambda_C'$, que es $$\lambda_M-\lambda_m\leq (\lambda_A-\lambda_m)+(\lambda_C-\lambda_m)\Rightarrow \lambda_M +\lambda_m \leq \lambda_A +\lambda_C.$$