¿Cuál es un ejemplo concreto de por qué uno quiere tener un *derivado de la categoría* en la geometría algebraica?

Question

Mi pregunta es para un hormigón (y esperemos que fácil) ejemplo, ¿por qué uno quiere derivar cosas en la geometría algebraica. He oído, que una resolución de un objeto por parte de los gratuitos se comporta mucho mejor que el del objeto original, pero hasta ahora estos son sólo frases sin sentido para mí. Aquí está la configuración, me gustaría entender el término "derivados" en:

Deje $X$ ser un esquema y $X_Z$ (o $X_{ét}$, si se quiere) a la pequeña Zariski (o la pequeña étale) Grothendieck sitio en $X$. Considerar la abelian categoría $Shv^{Ab}(X_Z)$ de las poleas de abelian grupos en $X_Z$. ¿Cuál es un ejemplo concreto de por qué a uno le gusta construir complejos de $Ch(Shv^{Ab}(X_Z))$ en esa categoría y, a continuación, la derivada de la categoría $D(X_Z)$ en el sentido del álgebra homológica (es decir, la inversión de la cuasi-isomorphisms)?

Si esta opción no es adecuada, se puede considerar el anillo objeto de $\mathcal{O}_X$ $Shv^{Ab}(X_Z)$ y módulos sobre él. Esta categoría es de nuevo abelian, uno de formularios complejos de la cadena y la derivada de la categoría $D(X_Z,\mathcal{O}_X)$. Por qué? ¿Cuál es un ejemplo concreto de la necesidad de este complicado proceso?

Answer 1

La motivación es la teoría de la deformación, ver MO:111084. Básicamente, la cotangente complejo resulta ser la izquierda derivados functor de la Kähler diferenciales functor $\Omega^1$.

En la intersección de la teoría, Serre de la intersección de la fórmula es otro ejemplo, ver MO:12236. El Tor es en esta fórmula son simplemente el homotopy grupos de la derivada del tensor de producto, tomada en la derivada de la categoría de simplicial álgebras conmutativas. Por lo tanto la intersección de la multiplicidad no es nada, pero la longitud de los derivados de este producto tensor, visto como un simplicial módulo.

Ambos de estos ejemplos también de plomo, muy naturalmente, en el mundo de los derivados de la geometría algebraica , en el sentido de Toën–Vezzosi o Lurie.

Sin embargo, debo mencionar que más tradicionalmente (es decir, en no-derivados de la geometría), la derivada de la categoría de (cuasi-)coherente con poleas no es utilizado generalmente para el cómputo de las resoluciones o tal, sino más bien como una especie de paquete de clásico interesantes datos geométricos acerca de su variedad. De hecho, en algunos casos, esto trianguladas categoría contiene la información suficiente para reconstruir su variedad original hasta el isomorfismo. Para esta perspectiva, ver papeles de Bondal y Orlov, como arXiv:matemáticas/0206295.

De hecho, en no conmutativa la geometría algebraica o derivados no conmutativa la geometría algebraica, las variedades son completamente reemplazados por sus categorías derivadas de (cuasi-)coherente con poleas o estable (∞,1)-categórica mejoras de los mismos. Por lo tanto una no conmutativa de espacio , en este sentido es una especie de establo $k$-lineal (∞,1)-categoría (a menudo un DG categoría). Una buena introducción a este tema, es arXiv:1108.3787.