Pregunta: ¿Es cierto y fácil demostrar que:
$$\sqrt{2^{3^{-5^{-7^{11^{13^{-17^{-19^{23^{29^{-31^{-37^{41^{\ldots}}}}}}}}}}}}}} =\sqrt{2}$$ ?
Implícitamente estoy haciendo la reclamación $2^{3^{-5^{-7^{11^{13^{-17^{-19^{23^{29^{-31^{-37^{41^{\ldots}}}}}}}}}}}}} =2$. Computacionalmente se ha verificado hasta el primer exponente 41. No tengo una plataforma informática para manejar adicionales exponentes. Nota no es una secuencia alternante de $+/-$. Pero en lugar de la paridad en el primer exponentes se lee comenzando en el exponente $3$: $+,-,-,+,+,-,-,+,+,-,-,\ldots$. No tengo ninguna razón para creer que es verdad por otro lado creo que no es coincidencia.
Antecedentes y motivación: yo estaba buscando "fácil", posiblemente trivial, expresión con el fin de reescribir la $\sqrt{2}.$, Por ejemplo, que aparentemente es fácil mostrar que $\sqrt{\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{3-\sqrt{3+\ldots}}}}}=\sqrt{2}.$ Así que, empecé a "jugar" con otra expresión en Wolfram Alpha y se acercó con esta pregunta. Con el fin de convencer a ti mismo escriba $\text{sqrt(2^3^-5^-7^11^13^-17^-19^23^-29^-31^37)}$ en la barra de búsqueda de google. Yo estaba preocupado de que esto era obvio, pero yo no se parece a la figura hacia fuera. Creo que no es computacional basura de Wolfram o Google.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La convergencia de su torre para $2$ es equivalente a la convergencia de $3^{-5^{-7^{11^\ldots}}}$ $1$, que equivale a la convergencia de $5^{-7^{11^{13^\ldots}}}$ $0$, que equivale a la convergencia de $7^{11^{13^{-17^\ldots}}}$ $\infty$, que equivale a la convergencia de $11^{13^{-17^{-19^\ldots}}}$ $\infty$, que equivale a convergencia de $13^{-17^{-19^{23^\ldots}}}$ $\infty$, que equivale a la convergencia de $17^{-19^{23^{29^\ldots}}}$ $-\infty$, que es absurdo.
Te agrego a la respuesta de Hagen von Eitzen. Si trunca la torre de la energía en cualquier momento pasado $29$, entonces tenemos las siguientes desigualdades:
\begin{align*} 1 &\le 23^{29^\cdots} \\ 19 &\le 19^{23^\cdots} \\ 0 &\le 17^{-19^\cdots}\le 17^{-19} \\ 13^{-17^{-19}} &\le 13^{-17^\cdots} \le 1 \\ 11^{13^{-17^{-19}}} &\le 11^{13^\cdots} \le 11 \\ 7^{11^{13^{-17^{-19}}}} &\le 7^{11^\cdots} \le 7^{11} \\ 5^{-7^{11}} &\le 5^{-7^\cdots} \le 5^{-7^{11^{13^{-17^{-19}}}}} \\ 3^{-5^{-7^{11^{13^{-17^{-19}}}}}} &\le 3^{-5^\cdots} \le 3^{-5^{-7^{11}}} \\ 2^{3^{-5^{-7^{11^{13^{-17^{-19}}}}}}} &\le 2^{3^\cdots} \le 2^{3^{-5^{-7^{11}}}} \end{align*}
Puede comprobar que $2^{3^{-5^{-7^{11}}}} < 2$, así que es imposible que la torre de energía que convergen a $2$, pero las torres parciales están extremadamente cerca de $2$. Usted puede comprobar que ambos $\log_{10}\left(2-2^{3^{-5^{-7^{11^{13^{-17^{-19}}}}}}}\right)$ y $\log_{10}\left(2-2^{3^{-5^{-7^{11}}}}\right)$ son muy aproximadamente $-1.382 \times 10^9$.
