La función $g$ es continua en el punto de discontinuidad

Question

Dejemos que $g \in V[a, b]$ , donde $V[a, b]$ es el conjunto de funciones de variación acotada en $[a,b]$ . Demuestre que la existencia de la integral de Riemann-Stieltjes $\int_a^b f dg$ implica que $g$ es continua en cualquier punto de discontinuidad de $f$ .

Tal vez pueda demostrar que la integral existe cuando $g$ es monótona creciente y continua restando las sumas superiores e inferiores de Riemann-Stieltjes y demostrando que esta cantidad es menor que cualquier $\epsilon$ ?

Answer 1

Primero demuestre (1) que esto es cierto si $g$ es una función monótona creciente y luego (2) utilizar el hecho de que cualquier función de variación acotada es la diferencia de dos funciones crecientes.

Para (1) demostramos que si $g$ no es continua en un punto donde $f$ es discontinua, entonces la integral de Riemann-Stieltjes no puede existir.

Supongamos que $g$ es monótona creciente y que WLOG $f$ y $g$ son discontinuas por la derecha en $\xi \in (a,b).$ Considere cualquier partición $P = (x_0,x_1, \ldots, x_{i-1},\xi, x_i, \ldots, x_n)$ con $\xi$ como punto de partición y $x_i - \xi = \delta_i$

Existe $\epsilon > 0$ tal que para cada $\delta > 0$ (incluyendo $\delta_i$ ), hay puntos $y_1, y_2 \in (\xi, \xi + \delta)$ tal que $|f(y_1) - f(\xi)| \geqslant \epsilon$ y $|g(y_2) - g(\xi)| \geqslant \epsilon$ .

Entonces tenemos

$$U(P,f,g) - L(P,f,g) \geqslant \epsilon^2,$$

desde $g(x_i) - g(\xi) \geqslant g(y_2) - g(\xi) \geqslant \epsilon$ y $\sup_{x \in [\xi,x_i]} f(x) - \inf_{x \in [\xi,x_i]} f(x) \geqslant \epsilon$

Por tanto, no se cumple el criterio de Riemann y $f$ no es integrable en RS con respecto a $g$ en $[a,b]$ .

Dejaré que consideres la parte (2).