La respuesta puede depender bastante delicadeza de cómo las grandes $R$ es. Como se ve en Keith Kearnes respuesta, incluso si $R$ es finito-dimensional de álgebra sobre un campo $k$ puede suceder que $R$ tiene longitud finita módulos que varían los parámetros de los que viven en $k$, por lo que el número de tales módulos depende delicadamente en cómo es grande $k$ es.
Aquí es un básico de la discusión, inducción sobre la longitud. En primer lugar, una condición necesaria es que hay un número finito de longitud $1$ módulos, o, equivalentemente, módulos sencillos. Esto es cierto si $R$ es artinian, o más generalmente, si $R/J(R)$ es artinian; en realidad creo que es verdad iff $R/J(R)$ es artinian.
A continuación, vamos a considerar la longitud de la $2$ módulos. Estas son las extensiones $S_1 \to M \to S_2$ cuando la $S_i$ son módulos sencillos, y por lo tanto son más o menos clasificadas por $\text{Ext}^1(S_2, S_1)$ (no se trata exactamente de la clasificación hasta el isomorfismo pero creo que conseguir la clasificación hasta el isomorfismo dividiendo a cabo por las acciones de $\text{Aut}(S_1)$$\text{Aut}(S_2)$). Si $R$ es un álgebra sobre un campo $k$ estas $k$-espacios vectoriales, que es el fenómeno básico responsable de isomorfismo de las clases de los módulos de diferentes parámetros de los que viven en $k$. Si todos estos Ext grupos de desaparecer, a continuación, por la inducción de cada longitud finita módulo es semisimple; esto sucede si $R$ es semisimple y quiero decir que sucede iff $R$ es semisimple, pero no estoy seguro de cómo lo muestran.
En cualquier caso, esto no suele ocurrir y Exts son normalmente distinto de cero; se puede armar con ejemplos como muchos módulos sencillos y como muchos Exts entre ellos como desee mediante la toma de $R$ a ser un carcaj de álgebra, en cuyo caso la simple módulos pueden ser identificados con los vértices de la aljaba y Exts entre ellos han dimensión el número de aristas.
A partir de aquí voy a asumir, por simplicidad, que los $R$ es finito-dimensional de álgebra sobre un campo $k$. Entonces se puede calcular $\text{Ext}^n(M, N)$ utilizando una resolución de $M$, en la que cada término es un número finito de libre $R$-módulo, por tanto, finito-dimensional $k$-espacio vectorial; de ello se sigue que si $M, N$ son finito-dimensional (lo que es equivalente, de longitud finita) de los módulos, a continuación, $\text{Ext}^n(M, N)$ es también finito-dimensional. A partir de este casi deducir que esperamos de longitud finita módulos varían en un número finito de parámetros que viven en $k$, y por lo tanto no es de esperar que haya un número finito de estos módulos, a menos $k$ es finito.
En este caso es claro que, sin ningún tipo de álgebra homológica que hay un número finito de módulos de una determinada longitud finita, debido a que hay un número finito de homomorphisms $R \to M_n(k)$. Algo más generalmente, $R$ puede ser cualquier finito anillo.
