¿Por qué esta igualdad es cierta?

Question

Que $E$ ser un espacio de Hilbert complejo. Que ${\bf S} = (S_1,...,S_d) \in \mathcal{L}(E)^d$. Recordamos que $\|{\bf S}\|$ es definido por\begin{eqnarray*} \|{\bf S}\| &:=&\sup\left\{\bigg(\displaystyle\sum_{k=1}^d\|S_kx\|^2\bigg)^{\frac{1}{2}},\;x\in E,\;\|x\|=1\;\right\}, \end{eqnarray *}

Si el % de operadores $S_k$es desplazamientos, por qué tenemos $$\displaystyle\sup_{\|x\|=1}\displaystyle\sum_{|\alpha|=n}\frac{n!}{\alpha!}\|{\bf S}^{\alpha}x\|^2=||{\bf S}^n||^2\;?? \;,$ $ con $n\in\mathbb{N}^*,\;$ $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_d) \in \mathbb{N}^d;\;\alpha!: =\alpha_1!...\alpha_d!,\;|\alpha|:=\displaystyle\sum_{j=1}^d\alpha_j$; ${\bf S}^\alpha:=S_1^{\alpha_1} \cdots S_d^{\alpha_d}$ y ${\bf S}^n:={\bf S}\diamond{\bf S}\diamond\cdots\diamond{\bf S}$.

Tenga en cuenta que ${\bf S}^2 :={\bf S}\diamond{\bf S}= (S_1 S_1,\cdots,S_1 S_d,S_2S_1,\cdots,S_2S_d,S_dS_1\cdots,S_d S_d)$ y ${\bf S}^n$ está definida por la inducción.

¡¡Gracias!!

Answer 1

Recordemos que el número de maneras en que usted puede permutar $ n $ objetos donde $ \alpha_1 $ $ 1 $st tipo, $ \alpha_2 $ $ 2 $nd tipo,..., y $ \alpha_d $ $ d $th tipo de $$ \frac{n!}{\alpha_1!...\alpha_d!}=\frac{n!}{\alpha!}$$

Como ya se mencionó, $ S^n $ $ d^n $ tupla de operadores (cada operador es producto de $ n $ operadores de $\{S_1,...,S_d\}$) . Por lo tanto $$||S^n||^2=\sup_{||x||=1} \sum_{|\alpha|=n}\frac{n!}{\alpha!}||S^{\alpha}x||^2.$$

Un típico operador en el $ d^n $ tupla de operadores parecerá $ S_{i_1}S_{i_2}...S_{i_n}$ donde cada una de las $i_j\in \{1,2,...,d\}.$ Deje $\alpha_k=$ número de $ j $ tal que $ i_j=k .$, Entonces el operador $S_{i_1}S_{i_2}...S_{i_n}$ será $S_1^{\alpha_1}...S_d^{\alpha_d}.$, con Lo que cada operador en el $d^n$ tupla se convertirá en algunos $S_1^{\alpha_1}...S_d^{\alpha_d}$ algunos $\alpha_1,...,\alpha_d$ $\sum \alpha_i=n.$

Ahora arreglar cualquier $\alpha_1,...,\alpha_d$ $\alpha_1+...+\alpha_d=n.$ Tenemos que contar el número de $ S_{i_1}S_{i_2}...S_{i_n}$ $d^n$ tupla que se convertirá en $S_1^{\alpha_1}...S_d^{\alpha_d}$. Tome $\alpha_1$ copias de $S_1, \alpha_2$ copias de $S_2$,...,$\alpha_d$ copias de $S_d.$ Deje $\mathcal A$ ser el conjunto de todas las permutaciones de esta operadores. Tenga en cuenta que cada operador en $\mathcal A$ aparecerá en la $d^n$ tupla de operadores y cada operador (en $d^n$ tupla de operadores), que se convertirá en $S_1^{\alpha_1}...S_d^{\alpha_d}$ (después de usar la propiedad conmutativa) debe estar presente en $\mathcal A.$ por lo tanto el número de $ S_{i_1}S_{i_2}...S_{i_n}$ $d^n$ tupla que se convertirá en $S_1^{\alpha_1}...S_d^{\alpha_d}$ es el mismo que el número de maneras en que usted puede permutar $ n $ objetos donde $ \alpha_1 $ $ 1 $st tipo, $ \alpha_2 $ $ 2 $nd tipo,..., y $ \alpha_d $ $ d $th tipo. Desde finales de número de $\frac{n!}{\alpha!},$ nos hav $$||S^n||^2=\sup_{||x||=1} \sum_{|\alpha|=n}\frac{n!}{\alpha!}||S^{\alpha}x||^2.$$