Euclidiana derivación del agujero negro de la temperatura; cónicos singularidades

Question

Estoy estudiando la derivación del agujero negro de la temperatura por medio de la distancia Euclídea enfoque, es decir, por la Mecha de rotación, compactifying la distancia Euclídea tiempo y la identificación del período con la inversa de la temperatura.

Considerar la Schwarzschild caso como un ejemplo. La distancia Euclídea métrica de Schwarzschild es, por supuesto,

$ds^2=\left(1-\frac{2M}{r}\right)d\tau^2+\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2$

donde $\tau=it$ la distancia Euclídea tiempo. Aquí $\tau\in[0,\beta]$ $\beta=T^{-1}$ la inversa de la temperatura, donde los puntos de $\tau=0$ $\tau=\beta$ son equivalentes. (I caso de la 2-esfera parte de la métrica.)

Fuera, pero cerca del horizonte de sucesos $r=2M$, podemos (después de algunos pasos simples) escribo esto como $ds^2=\frac{\sigma^2}{16M^2}d\tau^2+d\sigma^2$.

Aquí $\sigma^2 \equiv 8M(r-2M) $, aunque esto no es realmente relevante para mi pregunta.

Ahora el siguiente paso en toda la literatura es requerir que los $\tau/4M$ es periódica con período de $2\pi$ para evitar la cónica singularidades. Tengo problemas para entender esto.

• Una cónica singularidad básicamente significa que el punto en $\sigma=0$ se ve como la punta de un cono, derecho? Así que tenemos una singularidad en $\sigma=0$. Pero no tenemos todavía una singularidad allí para coordenadas polares $(r,\theta)$, desde las coordenadas del gráfico de $\theta$ no es continua, no?
• Si es así, quitando el punto de $\sigma=0$ borrar cónica de la singularidad, a la derecha? Entonces, ¿por qué nos quieren deshacerse de la forma cónica de la singularidad, ¿por qué es peor que el de coordenadas polares de la singularidad? Por supuesto coordenadas polares acaba de describir espacio plano, sin que el origen, no es éste el caso de las cónicas en coordenadas?

Claramente no he entendido el concepto de una cónica singularidad...

Última pregunta: supongamos que me hizo entender, y la continuación de la derivación para obtener la temperatura de $T=1/8\pi M$. Al parecer esta es la temperatura medida por un observador en el infinito, ¿cómo puedo ver esto? Sé que la temperatura es desplazada hacia el rojo, como la frecuencia, pero no veo donde está la derivación identifica a $T$ con el que se mide en el infinito.

Answer 1

Así, la singularidad no se refieren a la estructura diferenciable: Incluso alrededor de la punta de un cono (incluyendo la propina) se puede definir un suave estructura diferenciable (obviamente este suave estructura no puede ser inducida por la natural en $R^3$ cuando el cono se ve como incrustado en $R^3$). Aquí la singularidad es métricos sin embargo! Considere la posibilidad de una $2D$ liso colector de un punto de $p$, supongamos que un suave métrica puede ser definida en una vecindad de a $p$, incluyendo a $p$ sí. El próximo considerar una curva de $\gamma_r$ circundante $p$ se define como el conjunto de puntos con la constante de la distancia geodésica $r$$p$. Deje $L(r)$ (métrica) de la longitud de la curva. Es posible demostrar que: $$L(r)/(2\pi r) \to 1\quad \mbox{ as $r \a 0$.}\qquad (1)$$ Actually it is quite evident that this result holds. We say that a $2D$ manifold, equipped with a smooth metric in a neighborhood $\{p\}$, of $p$ (notice that now $p$ does not belong to the set where the metric is defined), has a conical singularity in $p$ si: $$L(r)/(2\pi r) \to a\quad \mbox{ as $r \a 0$,}$$ con $0<a<1$.

Observe que la clase de curvas de $\gamma_r$ puede ser definido de todos modos, incluso si la métrica en $p$ no está definido, ya que la longitud de las curvas y geodesics es, sin embargo, se define (como un límite cuando un extremo termina en $p$). Obviamente, si hay una cónica a la singularidad en $p$, no es posible extender la métrica de $A-\{p\}$$p$, de lo contrario (1) se mantenga cierto y sabemos que es falso.

Como se puede entender, todo lo que es independiente de la elección de las coordenadas de corregir alrededor de $p$. Sin embargo, las coordenadas polares son muy convenientes para realizar los cálculos: El hecho de que no está definido exactamente en $p$ es irrelevante, ya que sólo estamos interesados en lo que sucede a su alrededor $p$ en el cómputo de los límites anteriores.

Sí, quitando el punto uno podría deshacerse de la singularidad, pero el hecho es que es imposible extender el colector con el fin de tener una métrica definida también en el punto límite $p$: la métrica en el resto del colector se acuerda de la existencia de la forma cónica de la singularidad!

El hecho de que el colector de Lorenz no tiene singularidades en la distancia Euclídea sección periódica en la distancia Euclídea tiempo de coordenadas tiene la siguiente interpretación física en un colector con un bifurcan Matar horizonte generado por un Killig vecotr campo $K$. Tan pronto como usted introducir una teoría de campo en la sección de Lorenz, la suavidad del colector y la periodicidad en la distancia Euclídea tiempo, implica que la función de punto del campo, calculadas con respecto a la única Gaussiano estado invariante bajo el Matar el tiempo y la verificación de los llamados Hadamard condición (que analíticamente continuó en la Euclidiana tiempo para obtener la distancia Euclídea sección) verifica una cierta condición, dijo el KMS condición con la periodicidad $\beta = 8\pi M$.

Esa condición significa que el estado térmico y el período de tiempo imaginario es la constante de $\beta$ de la canónica conjunto descrito por el estado (donde también el límite termodinámico se ha tomado). Así que, la asociada a la "mecánica estadística" de la temperatura es: $$T = 1/\beta = 1/8\pi M\:.$$

Sin embargo, el "termodinámicos de la temperatura" $T(x)$ medido en el caso de $x$ por un termómetro "en reposo" (es decir, cuyo mundo de la línea es tangente a) la Matanza de tiempo en la sección de Lorenz ha de ser corregido por el conocido Tolmo del factor. Toma en cuenta el hecho de que la temperatura percibida se mide con respecto al tiempo apropiado del termómetro, mientras que el estado de la esfera está en equilibrio con respecto a la Matanza de tiempo. La relación de las nociones de temperaturas es igual a la razón inversa de las dos nociones de tiempo, y se encapsula en la (raíz cuadrada de la magnitud de la componente de la $g_{00}$ de la métrica $$\frac{T}{T(x)}=\frac{dt_{proper}(x)}{dt_{Killing}(x)} = \sqrt{-g_{00}(x)}\:.$$ In an asymptotically flat spacetime, for $r \+\infty$, it holds $g_{00} \-1$ so that the "statistical mechanics" temperature $T$ coincides to that measured by the thermometer $T(r=\infty)$ lejos del agujero negro horizonte. Esta es una respuesta a su última pregunta.