La ecuación de $\,\,\Delta u+\cos u=0\,\,$ posee una solución en $\,W^{1,2}_0(D)$

Question

Que $D$ ser un subconjunto acotado abierto en $\mathbb{R}^{n}$, con límite suficientemente suave. Demostrar que existe una solución en $W^{1,2}_0$$(D)$ a la siguiente ecuación $$\Delta u+\cos u=0.$ $

Ayudenme algunos consejos para empezar.

Gracias en avanzada.

Answer 1

Otra forma de resolver este problema es la siguiente: en primer lugar, vamos a probar un teorema más general. Suponga que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es un almacén de función continua. Considere el problema de $$-\Delta u=f(u),\ u\in H_0^1(D)\tag{1}$$

Deje $F(x)=\int_0^x f(s)ds$ $I:H_0^1(D)\to\mathbb{R}$ de la energía funcionales asociados con $(1)$, es decir, $$I(u)=\int_D |\nabla u|^2-\int_D F(u)$$

Tenga en cuenta que $$|F(x)|\le \|f\|_\infty |x|,\ \forall x,\tag{w}$$

por lo tanto, $$-F(u)\ge -\|f\|_\infty |u\tag{2}|.$$

Llegamos a la conclusión de $(2)$ y el continuo incrustación $H_0^1(D)\hookrightarrow L^1(D)$ que $$I(u)\ge \|u\|_{1,2}^2-c\|u\|_{1,2},\tag{3}$$

donde $c$ es una constante positiva, por lo tanto, de $(3)$ llegamos a la conclusión de que $I$ es coercitivo (si $\|u_n\|_{1,2}\to \infty$$I(u_n)\to\infty$). Por otro lado, suponga que $u_n\to u$ débilmente en $H_0^1(D)$. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $u_n\to u$ strogly en $L^2(D)$, $u_n\to u$ una.e. en $D$$|u_n|\le g\in L^2$. Combinamos estos datos con (w) y el teorema de Lebesgue a la conclusión de que la $$\int_D F(u_n)\to \int_D F(u) \tag{4}$$

Como $\|\cdot \|_{1,2}$ es débilmente secuencialmente inferior semicontinuo (w.s.l.s.c.), es decir, si $u_n\to u$ débilmente en $H_0^1(D)$, $\|u\|_{1,2}\le\liminf\|u_n\|_{1,2}$, llegamos a la conclusión de $(4)$ que $I$ (w.s.l.s.c.).

Mediante la combinación de coerciviness y (w.s.l.s.c.), llegamos a la conclusión de que $I$ tiene un critcal punto (solución débil de $(1)$)$H_0^1(D)$, es decir no $u\in H_0^1(D)$ tal que $$\langle I'(u),v\rangle =\int_D \nabla u\cdot \nabla v-\int_D f(u)v=0\ \forall \ v\in H_0^1(D)$$

Ahora, acaba de tomar $f(x)=\cos{x}$.

Answer 2

La existencia de una solución débil. Un enfoque alternativo utilizando un método de punto fijo:

Deje $v\in L^2(D)$ $\varphi(v)\in W^{1,2}_0(D)$ ser una solución débil de $$ \Delta u+\cos v=0. $$ La débil existe una solución como esta significa para $\varphi(v)$ que $$ \int_D \nabla\varphi(v)\cdot\nabla w\,dx= \int_{D}w\cos v\,dx \quad\text{para todos los $w\in W^{1,2}_0(D)$}. $$ Y desde $\ell(w)=\int_{D}w\cos v\,dx$ es un delimitada lineal funcional en $W^{1,2}_0(D)$, entonces existe un $\varphi(v)\in W^{1,2}_0(D)$, tal que $$ \ell(w)=\langle w,\varphi(v)\rangle_{W^{1,2}_0(\Omega)}=\int_\Omega \nabla\varphi(v)\cdot\nabla w\,dx. $$ Tenga en cuenta que $W^{1,2}_0(D)$ es un espacio de Hilbert con producto interior $\langle w,w'\rangle_{W^{1,2}_0(D)}=\int_D \nabla w\cdot\nabla w'\,dx$.

También, para cada $v\in L^2(D)$: $$ \|\varphi(v)\|_{W^{1,2}_0(D)}=\|\ell\|\le \left(\int_D \cos^2 v\,dx|\right)^{1/2} \le |D|^{1/2}=:M. $$ Por lo tanto la no lineal funcional $\varphi$ mapas de $L^2(D)$ en $$ B=\{w\{W^{1,2}_0(D)}: \|w\|_{{W^{1,2}_0(D)}}\le M\}. $$ Ahora $B\subset \{u\in L^2(D) : \|u\|_{L^2}\le N\}$, para algunas de las $N>0$, debido a la desigualdad de Poincaré. En particular, $\varphi$ mapas de $B$ a $B$, e $\varphi[B]\subset B$. Pero $B$ es compacto subconjunto de $L^2(D)$, debido a Rellich teorema de compacidad. Por lo tanto, Punto fijo de Schauder teorema garantiza un punto fijo $u$$\varphi$. Claramente $u\in L^2(D)$, pero $u=\varphi(u)\in B\subset W^{1,2}_0(D)$.

La solución débil es también una solución clásica. Hemos obtenido una función de $u\in W_0^{1,2}(D)$ satisfactorio $$\Delta u=-\cos u,$$ is the sense of distributions. But if $u\en W_0^{1,2}(D)$, then $\cos u\W^{1,2}(D)$ and hence $\Delta u\W^{1,2}(D)$, which implies that $u\W^{3,2}(D)$. This in turn implies that $\cos u\W^{3,2}(D)$ y de forma recursiva obtenemos que $$u\in W^{k,2}(D), \quad \text{for all $k\in\mathbb N$},$$ and thus $u$ es una solución clásica.

Answer 3

Idea de punto fijo para el operador $Tv=\Delta^{-1}\cos(v)$.

Así que deje que $v\in H^1_0(D)=W^{1,2}_0(D)$, definir $\ell(w)=\int_D w\cos(v)\,dx$ y $a(u,w)=\int_D \nabla u \cdot \nabla w\, dx$; resolver el problema variacional $a(u,w)=\ell(w), \forall w\in H^1_0$ y llame a la débil solución $u=:Tv \in H^1_0$; hemos alcanzado el punto fijo si $u=v$.

El funcional $\ell$ es uniforme (para todos los $v$) limita en todo tipo de normas útiles. Ahora tratar de probar que existe un punto fijo.