Que D ser un subconjunto acotado abierto en Rn, con límite suficientemente suave. Demostrar que existe una solución en W1,20(D) a la siguiente ecuación $$\Delta u+\cos u=0.
Ayudenme algunos consejos para empezar.
Gracias en avanzada.
Que D ser un subconjunto acotado abierto en Rn, con límite suficientemente suave. Demostrar que existe una solución en W1,20(D) a la siguiente ecuación $$\Delta u+\cos u=0.
Ayudenme algunos consejos para empezar.
Gracias en avanzada.
Otra forma de resolver este problema es la siguiente: en primer lugar, vamos a probar un teorema más general. Suponga que f:R→R es un almacén de función continua. Considere el problema de −Δu=f(u), u∈H10(D)
Deje F(x)=∫x0f(s)ds I:H10(D)→R de la energía funcionales asociados con (1), es decir, I(u)=∫D|∇u|2−∫DF(u)
Tenga en cuenta que |F(x)|≤‖
por lo tanto, -F(u)\ge -\|f\|_\infty |u\tag{2}|.
Llegamos a la conclusión de (2) y el continuo incrustación H_0^1(D)\hookrightarrow L^1(D) que I(u)\ge \|u\|_{1,2}^2-c\|u\|_{1,2},\tag{3}
donde c es una constante positiva, por lo tanto, de (3) llegamos a la conclusión de que I es coercitivo (si \|u_n\|_{1,2}\to \inftyI(u_n)\to\infty). Por otro lado, suponga que u_n\to u débilmente en H_0^1(D). Podemos suponer sin pérdida de generalidad que u_n\to u strogly en L^2(D), u_n\to u una.e. en D|u_n|\le g\in L^2. Combinamos estos datos con (w) y el teorema de Lebesgue a la conclusión de que la \int_D F(u_n)\to \int_D F(u) \tag{4}
Como \|\cdot \|_{1,2} es débilmente secuencialmente inferior semicontinuo (w.s.l.s.c.), es decir, si u_n\to u débilmente en H_0^1(D), \|u\|_{1,2}\le\liminf\|u_n\|_{1,2}, llegamos a la conclusión de (4) que I (w.s.l.s.c.).
Mediante la combinación de coerciviness y (w.s.l.s.c.), llegamos a la conclusión de que I tiene un critcal punto (solución débil de (1))H_0^1(D), es decir no u\in H_0^1(D) tal que \langle I'(u),v\rangle =\int_D \nabla u\cdot \nabla v-\int_D f(u)v=0\ \forall \ v\in H_0^1(D)
Ahora, acaba de tomar f(x)=\cos{x}.
La existencia de una solución débil. Un enfoque alternativo utilizando un método de punto fijo:
Deje v\in L^2(D) \varphi(v)\in W^{1,2}_0(D) ser una solución débil de \Delta u+\cos v=0. La débil existe una solución como esta significa para \varphi(v) que \int_D \nabla\varphi(v)\cdot\nabla w\,dx= \int_{D}w\cos v\,dx \quad\text{para todos los $w\in W^{1,2}_0(D)$}. Y desde \ell(w)=\int_{D}w\cos v\,dx es un delimitada lineal funcional en W^{1,2}_0(D), entonces existe un \varphi(v)\in W^{1,2}_0(D), tal que \ell(w)=\langle w,\varphi(v)\rangle_{W^{1,2}_0(\Omega)}=\int_\Omega \nabla\varphi(v)\cdot\nabla w\,dx. Tenga en cuenta que W^{1,2}_0(D) es un espacio de Hilbert con producto interior \langle w,w'\rangle_{W^{1,2}_0(D)}=\int_D \nabla w\cdot\nabla w'\,dx.
También, para cada v\in L^2(D): \|\varphi(v)\|_{W^{1,2}_0(D)}=\|\ell\|\le \left(\int_D \cos^2 v\,dx|\right)^{1/2} \le |D|^{1/2}=:M. Por lo tanto la no lineal funcional \varphi mapas de L^2(D) en B=\{w\{W^{1,2}_0(D)}: \|w\|_{{W^{1,2}_0(D)}}\le M\}. Ahora B\subset \{u\in L^2(D) : \|u\|_{L^2}\le N\}, para algunas de las N>0, debido a la desigualdad de Poincaré. En particular, \varphi mapas de B a B, e \varphi[B]\subset B. Pero B es compacto subconjunto de L^2(D), debido a Rellich teorema de compacidad. Por lo tanto, Punto fijo de Schauder teorema garantiza un punto fijo u\varphi. Claramente u\in L^2(D), pero u=\varphi(u)\in B\subset W^{1,2}_0(D).
La solución débil es también una solución clásica. Hemos obtenido una función de u\in W_0^{1,2}(D) satisfactorio \Delta u=-\cos u, is the sense of distributions. But if u\en W_0^{1,2}(D), then \cos u\W^{1,2}(D) and hence \Delta u\W^{1,2}(D), which implies that u\W^{3,2}(D). This in turn implies that \cos u\W^{3,2}(D) y de forma recursiva obtenemos que u\in W^{k,2}(D), \quad \text{for all $k\in\mathbb N$}, and thus u es una solución clásica.
Idea de punto fijo para el operador Tv=\Delta^{-1}\cos(v).
Así que deje que v\in H^1_0(D)=W^{1,2}_0(D), definir \ell(w)=\int_D w\cos(v)\,dx y a(u,w)=\int_D \nabla u \cdot \nabla w\, dx; resolver el problema variacional a(u,w)=\ell(w), \forall w\in H^1_0 y llame a la débil solución u=:Tv \in H^1_0; hemos alcanzado el punto fijo si u=v.
El funcional \ell es uniforme (para todos los v) limita en todo tipo de normas útiles. Ahora tratar de probar que existe un punto fijo.
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