Demostrar la desigualdad $n\sqrt[n]{n!}-m\sqrt[m]{m!}\le\frac{(n−m)(n+m+1)}2.$

Question

Que $m,n\in\mathbb N$, $n>m$. Demostrar la desigualdad %#% $ #%

Mi trabajo hasta ahora:

$$n\sqrt[n]{n!}-m\sqrt[m]{m!}\le\frac{(n−m)(n+m+1)}2.$ $ Entonces $$\sqrt[n]{n!}=\sqrt[n]{1\cdot2\cdot...\cdot n}\le\frac{1+2+...+n}{n}=\frac{n(n+1)}{2n}=\frac{n+1}2.$

$n\sqrt[n]{n!}\le\frac{n(n+1)}{2}$ $ Entonces $$\sqrt[m]{m!}=\sqrt[m]{1\cdot2\cdot...\cdot m}\le\frac{1+2+...+m}{m}=\frac{m(m+1)}{2m}=\frac{m+1}2.$

Y $m\sqrt[m]{m!}\le\frac{m(m+1)}{2}$ $

Pero las desigualdades pueden ser añadido, sin restar

Answer 1

El resultado se sigue inmediatamente por escrito\begin{align} n\sqrt[n]{n!} &=n\sqrt[n]{m!\cdot(m+1)(m+2)\cdots n}\\ &=n\sqrt[n]{(\sqrt[m]{m!})^m\cdot(m+1)(m+2)\cdots n}\\ &\le m\sqrt[m]{m!}+(m+1)+(m+2)+\cdots+n\\ &=m\sqrt[m]{m!}+\frac{(n-m)(n+m+1)}{2}. \end {Alinee el}