Cómo se relaciona la convergencia a la equivalencia de las normas

Question

Deje $X$ ser una normativa espacio lineal con dos normas $||\cdot||_1$$||\cdot||_2$. Probar o refutar que estas declaraciones son equivalentes:

• $||\cdot||_1$ $||\cdot||_2$ son equivalentes,
• $\{x_n\}$ converge en $||\cdot||_1$ fib $\{x_n\}$ converge en $||\cdot||_2\;\; $ $\forall \{x_n\}\in X$

La primera implica la segunda trivial debido a la equivalencia de las topologías. Pero implica algo más: la secuencia converge a un mismo elemento en ambas normas. Pero no tengo tal condición.

Es esta una condición necesaria para que convergen en el mismo en ambas normas, o esto es sólo un consecuente de "si y sólo si" en la declaración de la convergencia, o hay un ejemplo refutar la equivalencia?

Answer 1

Supongamos que $\|\cdot\|_1$ y $\|\cdot\|_2$ son inequivalent, por lo que uno es ilimitada con respecto al otro; WLOG $\|\cdot\|_2$ es ilimitada respecto a $\|\cdot\|_1$. Eso significa que usted puede encontrar una secuencia $x_n$ $\|x_n\|_1 \leq 1$ % todo $n$$\|x_n\|_2 \geq n$. Que $y_n = \frac{x_n}{\sqrt{n}}$. Entonces $y_n \to 0$ $\|\cdot\|_1$, $\|y_n\|_2 \to \infty$. Por lo tanto, para las normas inequivalent siempre se puede encontrar una secuencia que converge a 0 en una norma, sino que va hasta el infinito (por lo tanto no convergen a nada) en el otro.

Answer 2

Por lo tanto, además de Dave respuesta, aquí es una más de la perspectiva geométrica.

Las normas son definidas de forma exclusiva por su forma convexa en la unidad de bolas, y son equivalentes si se puede montar la unidad de la bola de una norma en el interior de la otra norma, y viceversa. También desde que libremente puede traducir cosas en un espacio vectorial, no hay pérdida de generalidad en suponer que la $x_n \rightarrow 0$.

Así, con esta comprensión puede imaginar empezar con una pelota en la norma Una centrada en 0, poniendo una pequeña escala de la unidad de la bola de la norma B dentro de ella, luego uno más pequeño de Una norma interna que, a continuación, B, dentro de eso, etc, terminando con un anidada serie de formas convexas, ABABAB... cada vez más pequeños y más pequeños, con los factores de escala que va de 0.

La secuencia de $x_n$ converge a cero para Una norma si cada una de estas bolas contiene una cola de la secuencia (y lo mismo para la norma B). Dado que las bolas están anidadas Una dentro de B dentro de Un, .., si converge en una norma que ha convergen en el otro.