Interesante pregunta de suma: si $a$ y $b$ son las raíces de $x^2+x+1$, entonces ¿qué es la siguiente expresión igual a?

Question

Pregunta: Si $a$ $b$ son las raíces de $x^2+x+1$, entonces ¿cuál es el siguiente expresión igual a? $$\sum_{n=1}^{1729} \left[(-1)^n\cdot V(n)\right]$$ Donde $$V(n)=a^n+b^n$$

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Mi esfuerzo:

Creo que me las arreglé para resolver esto, pero en una forma ineficiente. Encontré $a$$b$, calculado $V(1)$,$V(2)$, y así sucesivamente; después de eso, he calculado $S_1$,$S_2$ y así sucesivamente, donde $S_n=V(1)+V(2) \cdot\cdot\cdot +V(n)$

He encontrado que

$S_1$,$S_7$,$S_{13}$ $\cdot\cdot\cdot$ resultado en $1$;

$S_2$,$S_8$,$S_{14}$ $\cdot\cdot\cdot$ resultado en $0$;

$S_3$,$S_9$,$S_{15}$ $\cdot\cdot\cdot$ resultado en $-2$;

$S_4$,$S_{10}$,$S_{16}$ $\cdot\cdot\cdot$ resultado en $-3$;

$S_5$,$S_{11}$,$S_{17}$ $\cdot\cdot\cdot$ resultado en $-2$;

$S_6$,$S_{12}$,$S_{18}$ $\cdot\cdot\cdot$ resultado en $0$;

Desde $S_{1729}$ estaría en la primera secuencia, creo que la respuesta a la pregunta es $1$.

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Mi petición: ¿Podría alguien por favor, sugiera un método más eficiente para abordar/a solucionar este problema?

Gracias de antemano.

Answer 1

SUGERENCIA:

$x^2+x+1=0\implies x^2=-x-1,x^3=x(-x-1)=-x^2-x=1\implies a^3=b^3=1$

Utilizando Leyes/potencia de exponente de la combinación de producto, $(-1)^na^n=(-a)^n,$

$\displaystyle\implies\sum_{n=1}^{1729} \left[(-1)^n\cdot V(n)\right]=\sum_{n=1}^{1729}[(-a)^n+(-b)^n]$

$\displaystyle1730=3\cdot576+2,a^{1730}=\cdots a^2$

$\displaystyle\sum_{n=1}^{1729}(-a)^n=\dfrac{1-(-a)^{1730}}{1-(-a)}=\cdots=1-a$ $1+a\ne0$

Esperanza que usted puede llevársela a casa aquí!

Answer 2

(Otro posible método...)

Que $f(n) = (-1)^n ( a^n + b^n ) = (-a)^n + (-b)^n$ para cualquier $n \in \mathbb{Z}$.

Entonces $f(n+2) = f(n+1) - f(n)$ porque $(-a)$ y $(-b)$ son raíces de $r \mapsto r^2 - r + 1$.

Desde $f(0) = 1$ y $f(1) = 1$, obtenemos $f$generación $1,1,0,-1,-1,0,...$ (repite cada términos de $6$).

Además, $\sum_{n=1}^k f(n) = \sum_{n=1}^k ( f(n+1) - f(n+2) ) = f(2) - f(k+2) = -f(k+2)$.

$k = 1729$, Obtenemos $\sum_{n=1}^k f(n) = -f(3) = 1$.

Answer 3

Otra manera de mirar el problema podría ser la siguiente.

Las raíces de $x^2+x+1=0$ se dan por el $$a=-\frac{1}{2}-\frac{i \sqrt{3}}{2}=e^{-\frac{2 i \pi }{3}}$$ $$b=-\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}=e^{+\frac{2 i \pi }{3}}$$ So $$a^n=e^{-\frac{2 n i \pi }{3}}$$ $$b^n=e^{+\frac{2 n i \pi }{3}}$$ $$a^n+b^n=2 \cos \left(\frac{2 \pi n}{3}\right)$$ $% $ $S_p=\sum_{n=1}^p (-1)^n (a^n+b^n)=2 \cos \left(\frac{(5 p+1)\pi}{3} \right)-1$

Answer 4

$a$ Es una raíz de $x^2+x+1$, tenemos $a^2+a+1 = 0$.

Por lo tanto, $a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1) = 0$ y por lo tanto, $a^{n+3}-a^n = a^n(a^3-1) = 0$.

Por lo tanto, $a^{n+3} = a^n$. Del mismo modo, $b^{n+3} = b^n$. Así, $V(n+3) = V(n)$ % enteros todos $n$.

Ahora, escribir la suma como $\displaystyle\sum_{n = 1}^{1729}(-1)^nV(n) =$ $-V(1) + \displaystyle\sum_{k = 0}^{287}\left[V(6k+2)-V(6k+3)+V(6k+4)-V(6k+5)+V(6k+6)-V(6k+7)\right]$

Para cada $k$, tenemos $V(6k+2) = V(6k+5)$ y $V(6k+3) = V(6k+6)$ y $V(6k+4) = V(6k+7)$. Para cada número entero $k$, tenemos $V(6k+2)-V(6k+3)+V(6k+4)-V(6k+5)+V(6k+6)-V(6k+7) = 0$.

Así, la suma es simplemente $-V(1)$.