Métricas de producto de curvatura de Riemann

Question

Supongamos que $M=M_1 \times M_2,$ con el producto métrico $g= g_1 \oplus g_2.$ % Let $p\in M$y Supongamos que $X \in T_pM_1$ y $Y\in T_pM_2.$

Quiero mostrar que $R(X,Y,Y,X)=0,$ en el % de punto $p.$puedo demostrarlo mediante la fórmula de coordenadas para la curvatura.

¿Seguramente hay una manera más "invariante"?

Answer 1

Dejando $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{l}$ ser un marco para $M_{1}$ $Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{m}$ ser un marco para $M_{2}$, la de Levi-Civita de conexión de $\nabla$ del producto métrica puede ser demostrado cumplir con lo siguiente:

1. $\nabla_{X_{i}}{X_{j}} =\tilde{\nabla}_{X_{i}}{X_{j}}$ donde $\tilde{\nabla}$ es la de Levi-Civita de conexión de $M_{1}$,
2. $\nabla_{Y_{i}}{Y_{j}} = \dot{\nabla}_{Y_{i}}{Y_{j}}$ donde $\dot{\nabla}$ es la de Levi-Civita de conexión en $M_{2}$, y
3. $\nabla_{X_{i}}{Y_{j}} = \nabla_{Y_{j}}{X_{i}} = 0$.

De hecho, la Ampliación de las condiciones de 1., 2., y 3. a través de la costumbre propiedades de linealidad, uno puede mostrar que $\nabla$ así definida es en el hecho de torsión libre y simétrica (y por lo tanto es la de Levi-Civita de Conexión en $M_{1} \times M_{2}$).

Con lo anterior en mente, el trabajo que $R(X, Y, Y, X) =0$ debe ser sencilla.