Probar

Question

Esta es la última pregunta en la hoja de ejercicio y estoy teniendo un problema real de la formalización de mis intuiciones.

Debería ser obvio. Desde el cierre de un conjunto a es el conjunto de todos los puntos en el universo con la distancia de cero para el conjunto, entonces no debería haber ninguna diferencia entre la búsqueda de la distancia entre el conjunto y la distancia entre sus cierres (desde cero es la identidad aditiva). Siento que podría tomar ventaja de la desigualdad de triángulo para formalizar la imagen en mi cabeza, pero me parece que no puede entender de forma concreta.

Definiciones De Trabajo:

$$ d(x, A) = \inf_{a \in A}\{d(x,a)\} $$ $$ \overline{A} = \{x \in X : d(x, A) = 0\} $$ $$ \operatorname{dist}(A, B) = \inf_{b \in B}\{d(b, A)\} $$

Answer 1

Sugerencias:

"$\leq$": Desde $A\subseteq \overline{A}$ y $B\subseteq \overline{B}$ y $d(\overline{A},\overline{B})\leq d(a,b)$ % todo $a\in A$, $b\in B$. Tomar el infimum.

"$\geq$": Demostrar mediante la desigualdad de triángulo que cualquier $x,y\in X$\begin{equation*} d(A,B)\leq d(A,x)+d(x,y)+d(y,B), \end{ecuación *} y concluir que para cualquier $a\in\overline{A}$ y $b\in\overline{B}$ tenemos $d(A,B)\leq d(a,b)$. Tomar el infimum.