Si $h(r, \theta) = f(r \cos \theta, r \sin \theta)$ , $$ f_{xx}+f_{yy} = h_{rr} + \frac{1}{r} h_r + \frac{1}{r^2} h_{00}$$ Sugerencia: reescriba la ecuación definitoria como $f(x,y) = h(r(x,y), \theta(x,y))$ con $r(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$ y $\theta (x,y) = tan^{-1} (\frac{y}{x})$ y diferenciar con respecto a $x$ y $y$ .
Definiendo la ecuación como $$f(x,y) = h \left[r(x,y), \theta(x,y) \right]$$ con $$r(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} \\ \theta (x,y) = tan^{-1} (\frac{y}{x})$$
(1) $$f_x = \frac{\partial h }{\partial r } \frac{\partial r }{\partial x } +\frac{\partial h }{\partial \theta } \frac{\partial \theta }{\partial x } = \frac{\partial h }{\partial r } \frac{y }{(y^2+x^2)^{\frac{1}{2} } } - \frac{\partial h }{\partial \theta } \frac{y}{x^2+y^2} \tag{A} $$
$$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial h }{\partial r } \frac{y }{\sqrt{y^2+x^2} } - \frac{\partial h }{\partial \theta } \frac{y}{x^2+y^2} \right) = \frac{\partial^2 h }{\partial x \partial r } \frac{y^2 }{(y^2+x^2)^{\frac{3}{2}} } - \frac{\partial^2 h }{\partial x \partial \theta } \frac{2yx}{(x^2+y^2)^2} \tag{B} $$
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También a partir de la etiqueta A, sustituyendo $\left( \frac{\partial h}{\partial r} \right)$ para $(h)$ $$\frac{\partial}{\partial x}(h) = \frac{\partial}{\partial r } (h) \frac{y }{(y^2+x^2)^{\frac{1}{2} } } - \frac{\partial }{\partial \theta } (h) \frac{y}{x^2+y^2}$$ $$ \implies \frac{\partial^2 h }{\partial x \partial r } = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial h}{\partial r} \right) = \frac{\partial}{\partial r } \left( \frac{\partial h}{\partial r} \right) \frac{y }{(y^2+x^2)^{\frac{1}{2} } } - \frac{\partial }{\partial \theta } \left( \frac{\partial h}{\partial r} \right) \frac{y}{x^2+y^2} $$ $$ \implies \frac{\partial^2 h }{\partial x \partial r }= \left( \frac{\partial^2 h}{\partial r^2} \right) \frac{y }{(y^2+x^2)^{\frac{1}{2} } } - \left( \frac{\partial^2 h}{\partial \theta .\partial r} \right) \frac{y}{x^2+y^2} \tag{C} $$ Segunda sustitución $$ \implies \frac{\partial^2 h }{\partial x \partial \theta } = \left( \frac{\partial^2 h}{\partial r \partial \theta} \right) \frac{y }{(y^2+x^2)^{\frac{1}{2} } } - \left( \frac{\partial^2 h}{\partial \theta^2.} \right) \frac{y}{x^2+y^2} \tag{D} $$
Se deduce, colocando (C) y (D) en (B): $$f_{xx} = \left[ \left( \frac{\partial^2 h}{\partial r^2} \right) \frac{y }{(y^2+x^2)^{\frac{1}{2} } } - \left( \frac{\partial^2 h}{\partial \theta .\partial r} \right) \frac{y}{x^2+y^2} \right] \frac{y^2 }{(y^2+x^2)^{\frac{3}{2}} } - \left( \left( \frac{\partial^2 h}{\partial r \partial \theta} \right) \frac{y }{(y^2+x^2)^{\frac{1}{2} } } - \left( \frac{\partial^2 h}{\partial \theta^2.} \right) \frac{y}{x^2+y^2} \right) \frac{2yx}{(x^2+y^2)^2} $$
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(2) A continuación, procedería de forma similar con $f_y$
$$f_y = \frac{\partial h }{\partial r } \frac{\partial r }{\partial y } +\frac{\partial h }{\partial \theta } \frac{\partial \theta }{\partial y } = \frac{\partial h }{\partial r } \frac{y }{(y^2+x^2) ^{\frac{1}{2}} }+\frac{\partial h }{\partial \theta } \frac{x}{x^2+y^2} $$ ...
(3) Después de añadir $f_{xx}$ y $f_{yy}$ y simplificando, con suerte, debería obtener una expresión como $h_{rr} + \frac{1}{r} h_r + \frac{1}{r^2} h_{00}$ .
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El resto de mi resultado no parece conducir al resultado deseado $h_{rr} + \frac{1}{r} h_r + \frac{1}{r^2} h_{00}$ no hay $h_r$ que se verá en $f_{xx}+f_{yy}$ .
EDITAR - El planteamiento, aunque largo, que emprendí normalmente permitiría demostrar que $h_{rr} + \frac{1}{r} h_r + \frac{1}{r^2} h_{00}$ ? ¿Existe algún planteamiento alternativo al del Sr. Surd mostrado como respuesta que implique sólo manipulación de parciales (El capítulo donde está el problema no tiene ningún concepto relacionado con el mostrado por el Sr. Surd).
Muchas gracias por su ayuda.
