¿Tiene lema de Euclid para dominios de M.C.D?

Question

Ejercicio $ 10 $ de la Sección $ 3 $ del Capítulo III de Hungerford del Álgebra dice que si $ R $ es un UFD y si $ a,b $ son relativamente primos, a continuación, $ a | bc $ implica $ a | c $, algo que es fácil de probar el uso de la unicidad de la factorización en irreducibles. Por lo tanto, quiero preguntar si esto es si $ R $ es sólo una parte integral de dominio (en orden de divisibilidad para dar sentido a) tal que $ \gcd(a,b) $ existe para todas las $ a,b \in R $.

Puedo demostrar esta propiedad si yo podría mostrar que $\gcd(x,y)\gcd(x,z)=\gcd(x,zy)$ o mostrando que $\gcd(x,y)=1=\gcd(x,z)$ implica $\gcd(x,zy)=1$, esta es la parte donde me he quedado estancado.

Gracias.

Answer 1

Sí, Euclides el Lema es cierto en la dpc de dominios (dominios donde cualquiera de los dos distinto de cero elementos tienen un mcd), pero el lexema puede fallar en los dominios donde algunos gcds no existen (por ejemplo, debajo). A continuación se presenta una discusión general sobre este y otros asuntos de manera arbitraria integral de dominio.

Lema $\rm\ \ (a,b)\ =\ (ac,bc)/c\quad$ si $\rm\ (ac,bc)\ $ existe $\rm\quad$ (GCD distributiva de la ley )

Prueba de $\rm\quad d\ |\ a,b\ \iff\ dc\ |\ ac,bc\ \iff\ dc\ |\ (ac,bc)\ \iff\ d|(ac,bc)/c$

Pero en general $\rm\ (ac,bc)\ $ no existe, como es más perspicaz visto como el fracaso de

Euclides del Lexema $\rm\quad a\ |\ bc\ $ $\rm\ (a,b)=1\ \Rightarrow\ a\ |\ c\quad$ si $\rm\ (ac,bc)\ $ existe.

Prueba de $\ \ $ Si $\rm\ (ac,bc)\ $ existe $\rm\ a\ |\ ac,bc\ \Rightarrow\ a\ |\ (ac,bc) = (a,b)\:c = c\ $ por el Lema.

Por lo tanto, si $\rm\: a,b,c\: $ dejar de cumplir con el Lema de Euclides $\Rightarrow\:$, es decir, si $\rm\ a\ |\ bc\ $ $\rm\ (a,b) = 1\ $ pero $\rm\ a\nmid c\:$, luego, enseguida se deduce que el mcd $\rm\ (ac,bc)\ $ no existe.$\:$ Para el caso especial en que $\rm\:a\:$ es un átomo (es decir, irreductible), la implicación se reduce a: atom $\Rightarrow$ prime. Así que basta encontrar un átomo nonprime con el fin de exponer un par de elementos cuya gcd no existe. Esta tarea es un poco más simple, por ejemplo, para $\rm\ \omega = 1 + \sqrt{-3}\ \in\ \mathbb Z[\sqrt{-3}]\ $ tenemos que el átomo de $\rm\: 2\ |\ \omega'\: \omega = 4\:,\:$ pero $\rm\ 2\nmid \omega',\:\omega\:,\:$ $\rm\:2\:$ no es primo. Por lo tanto el mcd $\rm\: (2\:\omega,\ \omega'\:\omega)\ =\ (2+2\sqrt{-3},\:4)\ $ no existen en $\rm\ \mathbb Z[\sqrt{-3}]\:$.

Tenga en cuenta que si el mcd $\rm\: (ac,bc)\ $ no existe, entonces esto implica que el ideal de $\rm\ (ac,bc)\ $ no es principal. Por lo tanto hemos constructivamente deduce que el fracaso de Euclides del lema de inmediato, los rendimientos de un inexistente mcd y un nonprincipal ideal.

Que el $\Rightarrow$ en Euclid del lema implica que los Átomos son Primos $\rm(:= AP)$ es denotado $\rm\ D\ \Rightarrow AP\ $ en la lista de dominios estrechamente relacionado con MCD dominios en este post. Allí encontrará enlaces para más literatura sobre dominios estrechamente relacionado con MCD dominios. Véase, en particular, la referencia completa de la encuesta por D. D. Anderson: MCD dominios, Gauss lema, y el contenido de los polinomios, 2000.

Ver también este post para el general universal definiciones de $\rm GCD,\: LCM$ y para más información sobre cómo ese $\iff$ definiciones de habilitar la mancha de pruebas, y ver aquí otro ejemplo sencillo de.

Answer 2

Esto es cierto si todos los pares de elementos que tienen un $\gcd$, en otras palabras en un mcd-dominio. Sin embargo, se produce un error si sólo $\gcd(a,b)$ que se requiere para ser definido.

Para ver el último punto, considere la posibilidad de su favorito no UFD, como $\mathbf Z[\sqrt{-5}]$ donde $(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})=6=2\times3$ son dos distintas factorizations en irreducibles. Ahora con $a=2$, $b=1+\sqrt{-5}$ y $c=1-\sqrt{-5}$, uno ha $2=a\mid bc=6$$\gcd(a,b)=1$, pero $a\not\mid c$.

Que la existencia de todos los $\gcd$s implica que la implicación es válida se explica en las otras respuestas: suponiendo que $a\mid bc$, ya que también se $a\mid ac$ se sigue que $a\mid\gcd(bc,ac)=\gcd(a,b)c=c$. Aquí la igualdad de $\gcd(bc,ac)=\gcd(a,b)c$ (en el conjunto cociente $R/{\sim}$ donde $\sim$ es la equivalencia de la relación de multiplicación por invertible elementos, porque sólo hay que $\gcd$ expresión tiene un significado bien definido) sostiene ya que por un lado $\gcd(a,b)c$ es un divisor común de a$bc$$ac$, y en el otro lado $\gcd(bc,ac)$, que se supone que existen, divide $\gcd(a,b)c$: es un múltiplo $xc$ de la común divisor $c$$ac$$bc$, y ahora se $x$ debe dividir ambos $a$ $b$ (desde $xc$ divide $ac$$bc$) y, por tanto,$x\mid\gcd(a,b)$.

Por el camino de la existencia de $\gcd$s no implica que $R$ nos UFD, ya que no implica que factorisations en irreducibles existir en primer lugar.

Añadido. También puede ser interesante tener en cuenta si queremos reemplazar la hipótesis de $\gcd(a,b)=1$ "$a,b$ son relativamente primos" por la condición de que $ab$ es un mínimo común múltiplo de a$a$$b$, a continuación, llegamos a esta instancia de Euclides del lexema sin tener que requieren de la existencia de otros $\def\lcm{\operatorname{lcm}}\lcm$s o $\gcd$s: $a\mid bc$ y el evidente $b\mid bc$ siga $ab=\lcm(a,b)\mid bc$, y luego por la simplificación $b$ se $a\mid c$.