Dejemos que $p$ ser un primo de impar. Sé que $(1+p)^{p^{r-1}}\equiv 1 \pmod {p^r}$ pero cómo puedo demostrar que si $n < p^{r-1}$ entonces $(1+p)^n$ no es $1 \pmod {p^r}$ . He intentado demostrarlo utilizando las propiedades de la expansión binomial pero no puedo demostrar que la suma es menor que $p^r$ o no $1 \bmod p^r$ .
Respuestas
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Como sabes $(1+p)^{p^{r-1}}\equiv 1\pmod{p^r}$ , usted sabe que el orden de $1+p$ mod $p^r$ divide $p^{r-1}$ . Así que para su problema basta con comprobar que $(1+p)^{p^e}\not\equiv1\pmod{p^r}$ para cualquier $e<r-1$ o mejor, sólo eso $$(1+p)^{p^{r-2}}\not\equiv1\pmod{p^r}.$$
Pero ahora el teorema del binomio da $$(1+p)^{p^{r-2}}=\sum_{k=0}^{p^{r-2}}\binom{p^{r-2}}{k}p^k=1+\sum_{k=1}^{p^{r-2}}\binom{p^{r-2}}{k}p^k\equiv 1+p^{r-1}\not\equiv 1\mod p^r.$$
Oli
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En lugar de hacer las cosas en un solo paso, utilizando el Teorema Binomial, podemos empujar $r$ hacia arriba de uno en uno (pero de nuevo utilizando el Teorema del Binomio). Demostramos por inducción en $r$ que si $p$ es un primo impar y $r \ge 2$ entonces
$$(1+p)^{p^{r-2}}\equiv 1+p^{r-1} \pmod{p^r}.$$ Los detalles son similares a los de mi respuesta a una pregunta anterior suya sobre el orden de $5$ modulo $2^r$ y conectar en parte las dos preguntas.
El resultado se mantiene en $r=2$ . Demostramos que si se mantiene en $r=k$ tiene en $r=k+1$ . Por el supuesto de inducción, tenemos $$(1+p)^{p^{k-2}}= 1+p^{k-1} +sp^k$$ para algún número entero $s$ . Tome el $p$ -enésima potencia de ambos lados. Obtenemos $$(1+p)^{p^{k-1}}= (1+p^{k-1} +sp^k)^p.$$ Expande el lado derecho, utilizando el Teorema del Binomio. Obtenemos $$1+p(p^{k-1}+sp^k) + \text{higher order terms}.$$ Sólo hay problemas potenciales con el primer término de la parte de orden superior, que es $\binom{p}{2}(p^{k-1}+sp^k)^2$ . El $(p^{k-1}+sp^k)^2$ parte suministra un factor de $p^{2k-2}$ . Esto es suficiente si $2k-2 \ge k+1$ pero eso sólo ocurre cuando $k \ge 3$ . Cuando $k=2$ necesitamos el hecho de que $p \ge 3$ Así que $\binom{p}{2}$ proporciona un factor adicional de $p$ . (Obsérvese que aquí es exactamente donde se rompe el argumento cuando $p=2$ .)
Concluimos que $(1+p)^{p^{k-1}}=1+p^k + \text{terms divisible by } p^{k+1}$ que es lo que necesitábamos mostrar.
