Límites racionales para $\tan^{-1} x$

Question

Quiero ayuda con esta pregunta.

Mostrar de todos los $x>0$, $$ \frac{x}{1+x^2}<\tan^{-1}x<x.$ $

Gracias.

Answer 1

Que $t:=\tan^{-1}x$ así que $x=\tan(t)$. Entonces $1+x^2=\displaystyle\frac{\cos^2(t)+\sin^2(t)}{\cos^2(t)}=\frac1{\cos^2(t)}$, que $$\frac x{1+x^2}=\tan(t)\cdot\cos^2(t)=\sin(t)\cos(t)=\frac{\sin(2t)}2\,.$ $ por lo que esto lleva a probar $\displaystyle\frac{\sin(2t)}2<t<\tan(t)$ $t\in (0,\pi/2)$.

Answer 2

Conozco un método que se basa de usar el teorema del valor medio para funciones en cálculo. Que $f(x)=\arctan(x)$. Desde $f'=1/1+x^2$ por lo que según el teorema del valor medio, existe un $\xi\in(0,x)$ tal que $$\frac{\tan^{-1}(x)-\tan^{-1}(0)}{x-0}=f'(\xi)$$ But $0 < \xi < x $ makes $f ' (\xi) $ to be: $$f'(x)<f'(\xi)<1$$ I think the rest is clear. Indeed multiplying both sides by $x\neq 0$ da el resultado. :-)

Answer 3

$$ \frac{d}{dx} \tan^{-1} x = \frac{1}{1+x^2} < \frac{d}{dx} x =1$ $ y $\tan^{-1}(0)=0$ para que la última desigualdad es probada.

$$ \frac{d}{dx} \frac{x}{x^2+1} = \frac{(x^2+1) - x(2x) }{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} < \frac{d}{dx} \tan^{-1} x = \frac{1}{1+x^2} $ $ y $\frac{x}{1+x^2}(0)=0=\tan^{-1}(0)$ por lo que se demuestra la primera desigualdad.

Otra forma:

$$ \frac{x}{x^2+1} < t\frac {1} {t ^ 2 +1} | _ {t = 0} ^ {t = x}-\int_0^x t\frac {-2t} {(t ^ 2 +1) ^ 2} = \int_0^x \frac{1}{t^2+1}\ dt = \tan^{-1}x < \int_0^x \frac{1}{0+1}\ dt = x$ $