¿En el método de delta epsilon, es esto posible?

Question

Cuando se utiliza el método de delta epsilon, utilizamos la desigualdad estrictamente como sigue:

función $f$ es continua en $x=a$ si y sólo si arbitraria $\epsilon$, existe un $\delta$ tal eso si $ | x-a | < \delta$ y $ | f(x) - f(a) | < \epsilon$

¿Es posible cambiar la desigualdad estricta ($<$ a inequality($\leq$) en la expresión anterior? ¿Si es posible es equivalente?

Answer 1

Sí, es posible y es equivalente. Para una función $f \colon \def\R{\mathbf R}\R \to \R$ y $a \in \R$, mostramos que $$ \forall \epsilon > 0\, \exists \delta > 0\, \forall x \in \R\, |x-a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon \tag+$ $ y $$ \forall \epsilon > 0\, \exists \delta > 0\, \forall x \in \R\, |x-a| \le \delta \implies |f(x) - f(a)| \le \epsilon \tag{$ * $}$ $ Supongamos $(+)$ sostiene, a probar deja de $(*)$ $\epsilon > 0$. Con $(+)$de % obtenemos un $\delta' > 0$ tal que $$ |x-a| < \delta' \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon $$ Let $\delta := \frac{\delta'}2$. Si se da $x \in \R$ $|x-a| \le \delta$, entonces $|x-a| < \delta'$, por lo tanto el $|f(x)-f(a)| < \epsilon$%, lo que implica $|f(x)-f(a)| \le \epsilon$.

Ahora Supongamos que $(*)$ tiene y que $\epsilon > 0$. $(*)$ $\frac \epsilon2$ $\delta > 0$ $$ |x-a| \le \delta \implies |f(x) - f(a)| \le \frac\epsilon2 $ $ Conseguir ahora $x \in \R$ $|x-a| < \delta$ se da, entonces la opción de $|x-a| \le \delta$, $\delta$ $|f(x)-f(a)| \le \frac\epsilon2< \epsilon$, por lo tanto, se aplican.

Answer 2

Sin duda lo es. Puesto que la declaración sostiene para todos los $\epsilon > 0$, entonces si tomamos fijo $\epsilon>0$, entonces claramente $\frac{\epsilon}{2}>0$ la declaración $|f(x)-f(a)|\leqslant\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$ es cierto así (pero $\delta$ en definición probablemente será aún más pequeño que antes). Es evidente la implicación inversa $<\implies \leqslant$.