Mostrar que cada función real semicontínuo superior es mensurable

Question

Posibles Duplicados:
Subconjunto de la preimagen de un semicontinuo función real es Borel

Una función real $f$ en la línea es superior semi-continua en $x$, si para cada una de las $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $|x-y|<\delta$ implica que el $f(y) < f(x) + \epsilon$. Compruebe que si $f$ está en todas partes superior semi-continua, entonces es medible.

Yo no podría hacer esta pregunta.

Gracias y saludos.

Answer 1

Voy a demostrar que el conjunto de $U = \{x \,:\,f(x) \lt t\}$ está abierto para cada $t \in \mathbb{R}$ (así $f$ es de hecho mensurable):

Tenemos $x \in U$ si y sólo si $f(x) \lt t$. Fijar $x \in U$. Tomar el $\varepsilon = t-f(x)$. Su definición de continuidad semi superior rinde un $\delta$ tal que $|x-y| \lt \delta$ implica $f(y) \lt f(x) + \varepsilon = t$, por lo que implica de $|x-y| \lt \delta$ $y \in U$.

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