Caracterización de expansiones decimales no son únicas

Question

En las pruebas de exhibir bijections de $\mathbb{R}$ por el bien de la prueba de los argumentos acerca de la cardinalidad, la atención es generalmente adoptadas para evitar la $.999\!\ldots=1.00\!\ldots$ problema. Sin embargo, es generalmente aceptado sin comentar que esta es la única manera de hacer distintas expansiones decimales que representan el mismo número real. Aunque parece obvio, ¿cómo podemos estar seguros de que hay no hay otros casos de esquina para estar preocupado?

Formalmente, si $x_d$ $y_d$ son distintas secuencias de números enteros entre el $0$ $9$ lo que representa expansiones decimales de los números de $x$$y$$[0,1)$, es cierto que $x=y$ fib hay un $N\in\mathbb{N}$ tal que

• si $n<N$ $x_n=y_n$
• $x_N=y_N-1$, y
• si $n>N$$x_n=9$$y_n=0$,

y si es así, ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

Sí (hasta cambio de $x$ y $y$). Que $N$ ser el menos número entero tal que $x_N\ne y_N$. Asumir WLOG que $y_N>$. Si $y_N>x_N+1$ entonces desde los dígitos restantes juntos contribuir a más $10^{-N}$ tenemos $y-x\ge 2\cdot 10^{-N}-10^{-N}>0$, que $x\ne y$. Si % o $x_{N+1}\ne 9$ $y_{N+1}\ne 0$y $x_{N+1}-y_{N+1}\le 8$ y dado que los dígitos restantes contribuyen a más $10^{-N-1}$ $$y-x\ge 10^{-N}-8\cdot 10^{-N-1}-10^{-N-1}>0$$ \so $x\ne y$. Por lo tanto debemos tener $x_{N+1}=9$ y $y_{N+1}=0$. Continuando de esta manera vemos que es cierto para todos los dígitos restantes.