Hallar la asintótica de $x(n)$ si $n = x^{x!}$

Question

Hallar la asíntota de $x(n)$ si $n = x^{x!}$ .

He intentado

1) tomar un logaritmo:

$x! \log{x} = \log{n}$ .

2) encontrar $n'(x)$ utilizando función gamma para factorial

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt$

Ya estoy aquí:

$\frac{1}{n}n'(x) = \Gamma'(x+1)\log{x} + \Gamma(x) $

$n'(x) = x^{x!}(\Gamma'(x+1)\log{x} + \Gamma(x)) $

¿Qué debo hacer ahora? ¿Debería utilizar otra forma de resolver este problema? Soy nuevo en este tema, agradeceré cualquier ayuda.

Answer 1

Seguiremos el enfoque sugerido por alex.jordan . Tomando de nuevo los logaritmos obtenemos la ecuación

$$ \log x! + \log\log x = \log\log n. $$

En $\log x!$ es el término dominante en el lado izquierdo, por lo que será la principal fuente de información sobre $x$ . Está claro que $x \to \infty$ como $n \to \infty$ y reordenando observamos que

$$ \log x! = \log\log n - \log\log x < \log\log n $$

para $x$ lo suficientemente grande. Ahora

$$ \log x! = x\log x + O(x) > \frac{1}{2} x\log x $$

para $x$ lo suficientemente grande, por lo que

$$ x \log x < 2 \log\log n $$

para $x$ lo suficientemente grande. Tomando el Lambert $W$ de ambos lados se obtiene

$$ \log x < W(2\log\log n) $$

desde $W(x\log x) = \log x$ de donde

$$ x < e^{W(2\log\log n)} = \frac{2\log\log n}{W(2\log\log n)} = O\left(\frac{\log\log n}{\log\log\log n}\right). $$

Para obtener el último límite utilizamos el hecho de que

$$ W(z) = \log z + O(\log\log z) $$

como se deriva en esta respuesta . Ahora haremos un bootstrap de esta estimación aproximada con las estimaciones anteriores para obtener una más precisa. La aproximación $\log x! = x\log x + O(x)$ se convierte en

$$ \log x! = x\log x + O\left(\frac{\log\log n}{\log\log\log n}\right), $$

lo que nos permite reescribir la ecuación

$$ \log x! = \log\log n - \log\log x $$

como

$$ x\log x + O\left(\frac{\log\log n}{\log\log\log n}\right) = \log\log n + O(\log\log\log\log n). $$

o simplemente

$$ x\log x = \log\log n + O\left(\frac{\log\log n}{\log\log\log n}\right). $$

Entonces tenemos

$$ \begin{align} x &= \frac{\log\log n + O\left(\frac{\log\log n}{\log\log\log n}\right)}{W\left[\log\log n + O\left(\frac{\log\log n}{\log\log\log n}\right)\right]} \\ &= \frac{\log\log n + O\left(\frac{\log\log n}{\log\log\log n}\right)}{\log\left[\log\log n + O\left(\frac{\log\log n}{\log\log\log n}\right)\right] + O(\log\log\log\log n)} \\ &= \frac{\log\log n + O\left(\frac{\log\log n}{\log\log\log n}\right)}{\log\log\log n + \log\left[1+O\left(\frac{1}{\log\log\log n}\right)\right] + O(\log\log\log\log n)} \\ &= \frac{\log\log n + O\left(\frac{\log\log n}{\log\log\log n}\right)}{\log\log\log n + O(\log\log\log\log n)} \\ &= \frac{\frac{\log\log n}{\log\log\log n} + O\left(\frac{\log\log n}{(\log\log\log n)^2}\right)}{1 + O\left(\frac{\log\log\log\log n}{\log\log\log n}\right)} \\ &= \left[\frac{\log\log n}{\log\log\log n} + O\left(\frac{\log\log n}{(\log\log\log n)^2}\right)\right]\left[1+O\left(\frac{\log\log\log\log n}{\log\log\log n}\right)\right] \\ &= \frac{\log\log n}{\log\log\log n} + O\left(\frac{(\log\log n)(\log\log\log\log n)}{(\log\log\log n)^2}\right). \end{align} $$

Esta última parte fue bastante brutal, pero al menos acabamos con un límite de error riguroso. En resumen,

$$ x = \frac{\log\log n}{\log\log\log n} + O\left(\frac{(\log\log n)(\log\log\log\log n)}{(\log\log\log n)^2}\right) $$ como $n \to \infty$ .

Si lo deseamos, podemos hacer bootstrap de nuevo con esta estimación. Antes de hacerlo, introduzcamos la notación

$$ \begin{align} &\log\log n = L_2(n), \\ &\log\log\log n = L_3(n), \\ &\log\log\log\log n = L_4(n), \end{align} $$

de modo que la última estimación puede escribirse

$$ x = \frac{L_2(n)}{L_3(n)} + O\left(\frac{L_2(n)L_4(n)}{L_3(n)^2}\right). $$

Entonces encontramos que

$$ \begin{align} \log x! &= x \log x - x + O(\log x) \\ &= x \log x - \frac{L_2(n)}{L_3(n)} + O\left(\frac{L_2(n)L_4(n)}{L_3(n)^2}\right), \end{align} $$

para que $\log x! = \log\log n - \log\log x$ se convierte en

$$ x\log x = L_2(n) - \frac{L_2(n)}{L_3(n)} + O\left(\frac{L_2(n)L_4(n)}{L_3(n)^2}\right), $$

cediendo

$$ x = \frac{L_2(n) - \frac{L_2(n)}{L_3(n)} + O\left(\frac{L_2(n)L_4(n)}{L_3(n)^2}\right)}{W\left[L_2(n) - \frac{L_2(n)}{L_3(n)} + O\left(\frac{L_2(n)L_4(n)}{L_3(n)^2}\right)\right]}. $$

A continuación, podemos utilizar $W(z) = \log z - L_2(z) + O\left(\frac{L_2(z)}{\log z}\right)$ que también se deduce de esta otra respuesta para obtener el resultado final de

$$ x = \frac{L_2(n)}{L_3(n)} + \frac{L_2(n)(1-L_4(n))}{L_3(n)^2} + O\left(\frac{L_2(n)L_4(n)}{L_3(n)^3}\right). $$ como $n \to \infty$ .

Answer 2

Esto coincide con la primera respuesta de Antonio Vargas, pero la derivación es un poco más corta. $$ \begin{align} n&=x^{x!}\\[6pt] \log(n) &=x!\log(x)\\ \log(\log(n)) &=\log(\log(x))+x\log(x)-x+\frac12\log(2\pi x)\\ &=x\log(x)\left(1-\frac1{\log(x)}+\frac1{2x}+\frac{\log(\log(x))}{x\log(x)}+\frac12\frac{\log(2\pi)}{x\log(x)}\right)\\ \log(\log(\log(n))) &=\log(x)+\log(\log(x))-\frac1{\log(x)}+O\left(\frac1{\log(x)^2}\right)\\ &=\log(x)\left(1+\frac{\log(\log(x))}{\log(x)}-\frac1{\log(x)^2}+O\left(\frac1{\log(x)^3}\right)\right)\\ \frac{\log(\log(n))}{\log(\log(\log(n)))} &=x\left(1-\frac{\log(\log(x))}{\log(x)}-\frac1{\log(x)}+O\left(\frac{\log(\log(x))}{\log(x)}\right)^2\right) \end{align} $$ Por lo tanto, puesto que $\log(x)\sim\log(\log(\log(n)))$ obtenemos $$ x=\frac{\log(\log(n))}{\log(\log(\log(n)))}\left(1+O\left(\frac{\log(\log(\log(\log(n))))}{\log(\log(\log(n)))}\right)\right) $$ Tenga en cuenta que para obtener $\frac{\log(\log(\log(\log(n))))}{\log(\log(\log(n)))}\sim\frac1{10}$ necesitamos $\log(\log(\log(n)))\sim36$ Eso es, $n$ tiene que ser enorme.