¿Alguien podria explicarme quiralidad desde un punto de vista de la teoría de grupos?

Question

Al responder a esta pregunta mi interés en la rotación/grupo de reflexión se despertó.

Yo personalmente conozco muy básicos de la teoría de grupo, no mucho más de lo que realmente es. Entiendo que las técnicas que utiliza en la respuesta a esa pregunta son similares a los del grupo de técnicas teóricas.

Podría alguien explicar cómo quiralidad aparece en $n$ objetos tridimensionales que viven en $m>n$ espacio tridimensional si y sólo si $n=m$ utilizando la teoría de grupo? Preferentemente (pero no necesariamente) dar algunos antecedentes sobre las técnicas a emplear para adaptarse mejor a mi comprensión actual de la teoría de grupos.

Nota thatwhen digo una $n$ dimensiones del objeto, me refiero a un objeto que puede ocupar un mínimo de $n$ dimensiones. Una hélice es, pues, un "tres dimensiones del objeto", incluso si su dimensión topológica es 1.

Disculpas si la pregunta es demasiado amplia.

Answer 1

Cuando una dimensión se agrega, se puede girar el eje de la reflexión y la dimensión añadida $180^\circ$, de modo que la reflexión en la dimensión inferior es realizable como una rotación en la dimensión superior. En la dimensión superior, hay una rotación (determinante $1$) y reflexión (determinante $-1$) que afectan a la menor dimensión de la misma manera.

Para ser precisos (en el espíritu de esta respuesta), considere la posibilidad de una reflexión en $\mathbb{R}^n$ que niega $x_n$ $$ A=\begin{bmatrix} 1&0&0&\dots&0\\ 0&1&0&\dots&0\\ 0&0&1&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&-1 \end{bmatrix} $$ Este puede ser elevada a una isometría en $\mathbb{R}^{n+1}$ en dos maneras, como una reflexión (determinante $=-1$) $$ B=\begin{bmatrix} 1&0&0&\dots&0&0\\ 0&1&0&\dots&0&0\\ 0&0&1&\dots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&-1&0\\ 0&0&0&\dots&0&1 \end{bmatrix} $$ o como una rotación de $\theta=\pi$ (determinante $=1$) $$ C=\begin{bmatrix} 1&0&0&\dots&0&0\\ 0&1&0&\dots&0&0\\ 0&0&1&\dots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ 0&0&0&\dots&\sin(\theta)&\cos(\theta) \end{bmatrix} $$ Desde este determinante es una función continua y el determinante de una isometría es $\pm1$, no podemos obtener a partir de la identidad a $A$ o $B$ a través de rotaciones. Sin embargo, se puede llegar a $C$ a través de la rotación $\mathbb{R}^{n+1}$, y la acción de la $C$ es indistinguible de la acción de la $A$, tal como se ve en $\mathbb{R}^n$. Por lo tanto, la quiralidad se pierde cuando se añade aún una dimensión.

Por supuesto, publicado esta respuesta, así que tal vez estoy mal entendido su pregunta.