Sugerencia de informática la serie $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2-1}$.

Question

Estoy supuesto a determinar si esta suma diverge o converge y si converge, a continuación, encontrar su valor: $$ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2-1}. $$

Utilizando la prueba de comparación finalmente me mostró que esta converge. Pero no puedo averiguar cómo mostrar lo que esta suma converge a. La única sumas en realidad nos dimos valores en mis notas son series geométricas que esto claramente no lo es.

Vi que podía utilizar parcial fracción de descomposición para representar los términos como $$\frac{1/2}{n-1}- \frac{1/2}{n+1} $$ pero eso solo me pone $\infty - \infty$, por lo que esta no es la manera de hacerlo.

No estoy seguro de cómo encontrar el valor de esta suma. No necesito la solución completa, pero una sugerencia se agradece. Gracias. :)

Answer 1

Utilizar la fracción parcial descomposición para representar la suma y cuenta que es una serie telescópica.

Answer 2

Desde $ \mathbb N de $$\frac{1}{n^2-1}=\frac{1}{(n-1)(n+1)}=\frac12\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)$$ as you already have, then write for $N\in
\begin{align}\sum_{n=2}^{N}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)&=\left(1-\frac13\right)+\left(\frac12-\frac14\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\dots+\left(\frac1{N-1}-\frac1{N+1}\right)\\[0.2cm]&=1+\frac12+\left(\frac13-\frac13\right)+\dots+\left(\frac1{N-1}-\frac1{N-1}\right)-\frac1N-\frac1{N+1}\\[0.2cm]&=\frac32-\frac1N-\frac1{N+1}\end {Alinee el} en otras palabras, esta suma telescopios. Ahora que $N\to \infty$ (y por supuesto no olvidar 1/2 delante de la suma) a la conclusión de que \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n^2-1}=\lim_{N\to+\infty $$} \frac12\sum_{n=2}^N\left (\frac {1} {n-1}-\frac1 {n+1} \right) = \frac12\lim_ {N\to + \infty} \left (\frac32-\ frac1N-\frac1 {n+1} \right) = \frac34$ $

Answer 3

sugerencia: $\dfrac{1}{n^2-1} = \dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}\right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)$. De esto ver que hay $2$ sumas que se calculan y usando telescopar la primera suma es $\dfrac{1}{2}$ y el segundo es $\dfrac{1}{4}$, por lo tanto la respuesta es $\dfrac{3}{4}$ como.