Una matriz escalar o no ser.

Question

Que sigue es un ejercicio bastante (pero no tan fácil). ¿Es divertido fuera de tema?

Que $A,B\in M_2(\mathbb{C})$. Demuestran que, para cada $m,n\in\mathbb{N}$, $((AB)^m-(BA)^m)((AB)^n-(BA)^n)$ es una matriz escalar (es decir, de la forma $\lambda I_2$).

Answer 1

No sé qué truco tenía en mente, pero es suficiente tener en cuenta que $((AB)^m - (BA)^m)$ y $((AB)^n-(BA)^n)$ son desplazamientos matrices, cada una con rastro $0$.