¿Qué es un coset?

Question

Sinceramente. No entiendo la palabra y me encuentro con explicaciones muy técnicas (¡Wikipedia, te estoy mirando!). Si alguien fuera tan genial como para explicar el concepto asumiendo conocimientos básicos de teoría de grupos y álgebra de secundaria, estaría encantado.

Answer 1

Empecemos con un ejemplo concreto. Sea nuestro grupo $\mathbb{Z}$ los números enteros con la adición. Aquí hay un subgrupo de enteros pares, que se escribe $2\mathbb{Z}$ . Se trata de un subgrupo porque la suma de enteros pares es un entero par, y porque el número $0$ está en paz. Como los subgrupos deben tener elementos de identidad, es importante que $0$ está en $2\mathbb{Z}$ . Ahora, los enteros también contienen $2\mathbb{Z} + 1$ la colección de enteros Impares. Esto no es exactamente un subgrupo, porque no contiene un elemento de identidad. Sin embargo, parece una copia desplazada del subgrupo $2\mathbb{Z}$ Lo cual tiene sentido porque es una copia desplazada de $2\mathbb{Z}$ -- estamos cambiando añadiendo $1$ . Además, todo entero es par o impar (¡pero no ambos!), por lo que la unión (disjunta) de $2\mathbb{Z}$ con su copia desplazada $2\mathbb{Z}+1$ es todo $\mathbb{Z}$ .

Una cosa que hay que observar es que el cambio $2\mathbb{Z} + 1$ y $2\mathbb{Z}+3$ ambos te dan los enteros de impar, por lo que es erróneo decir que cada elemento desplaza un subgrupo de forma única.

Si tomamos el subgrupo $3\mathbb{Z}$ de múltiplos de $3$ tendríamos dos turnos: $3\mathbb{Z} + 1$ y $3\mathbb{Z}+2$ . Todos ellos son disjuntos entre sí, se parecen mucho, y su unión es la totalidad de $\mathbb{Z}$ .

Un ejemplo más antes de pasar a las generalidades. Dejemos que $G$ sea el grupo de simetrías del cuadrado, que es un ejemplo bastante común en la teoría de grupos. Aquí tenemos un subgrupo de simetrías rotacionales $H$ . $H$ tiene cuatro elementos: rotación por $0$ grados, rotación por $90$ grados, rotación por $180$ grados, y la rotación por $270$ grados. Rotación por $0$ grados es el elemento de identidad. $G$ contiene un elemento $f$ que representa dar la vuelta al cuadrado. $f$ no es un elemento de $H$ . Supongamos que usted "cambia" $H$ tomando cada simetría en $H$ y siguiéndolo se le da la vuelta al cuadrado. Escribiríamos lo siguiente $fH$ y esto no es un grupo, ya que no contiene el elemento identidad. Sin embargo, parece un subgrupo desplazado $H$ tiene el mismo número de elementos de $H$ no se solapa con $H$ y $G$ es la unión de $H$ y $fH$ porque toda simetría es una rotación o una rotación seguida de un giro.

Hablando en general, dejemos que $G$ sea un grupo. Dado un subgrupo $H$ , puedes cambiar $H$ multiplicándolo por un elemento $g$ en $G$ . Si $g$ también es un elemento de $H$ el turno $gH$ es lo mismo que $H$ . Pero si $g$ no está en $H$ , $gH \neq H$ y $gH$ no es un subgrupo. El desplazamiento $gH$ se llama coset de $H$ y se parece mucho a una copia de $H$ . En realidad, $H$ también es un coset de $H$ ya que se puede desplazar por el elemento de identidad. Al igual que todos los enteros eran pares o Impares, si se toman todos los cosets de $H$ llenan la totalidad de $G$ , por lo que puedes dividir cualquier grupo en una colección de piezas que parezcan "copias desplazadas" de un subgrupo.

Answer 2

1. Piensa en $G = \mathbb{R}^2$ y $H = \{(x,x) : x\in \mathbb{R}\}$ sea la línea $y=x$ . Entonces cualquier coset de $H$ es otra línea paralela a la línea $y=x$ . En notación de teoría de grupos, se escribiría como $$ (a,b)+H = \{(a,b) + (x,y) : (x,y)\in H\} = \{(x+a,x+b) : x\in \mathbb{R}\} $$

2. Dejemos que $G = \mathbb{C}^{\times}$ y $H = \{z\in \mathbb{C}^{\times} : |z| = 1\}$ sea el círculo unitario. Entonces cualquier coset de $H$ es otro círculo centrado en el origen. De nuevo esto sería $$ w_0H = \{w_0z : z\in H\} = \{w_0z : |z| = 1 \} = \{w : |w| = |w_0|\} $$

3. Supongamos que $A$ es un $n\times n$ matriz, y $G = \mathbb{R}^n$ . Dejemos que $$ H = \{x \in G : Ax = 0\} $$ Para cualquier $b\in \mathbb{R}^n$ el conjunto de soluciones $$ \{y \in \mathbb{R}^n : Ay = b \} $$ es un coset de $H$ (si no está vacío)

Answer 3

Un coset es lo que se obtiene al tomar un subgrupo y desplazarlo por algún elemento del grupo.

Por ejemplo, la línea $y = 4x$ es un subgrupo del grupo aditivo de los puntos del plano. Si desplazo la línea hacia arriba añadiendo $0\vec i + 1 \vec j$ a cada punto de la línea, obtengo la línea $y = 4x+1$ . Esto ya no es un subgrupo, porque no contiene la identidad $0\vec i + 0 \vec j$ . Pero tiene la misma "forma" que el subgrupo original, sólo que desplazado del origen.

Por ejemplo, en el grupo $\mathbb{Z}_{12}$ con adición modular, dejemos que $H$ sea el subgrupo $\{0,3,6,9\}$ . Si lo desplazo añadiendo $1$ a cada elemento, obtengo un coset $1 + H = \{1,4,7,10\}$ . Si lo desplazo añadiendo $2$ a cada elemento de $H$ Obtengo el coset $2 + H = \{2,5,8,11\}$ . No son subgrupos, porque no contienen $0$ pero tienen la misma "forma" que el subgrupo original $H$ En cierto sentido intuitivo.

La mayoría de las pruebas sobre los cosets utilizan el hecho de que el subgrupo original realmente fue un subgrupo. El coset no suele ser un subgrupo, pero el hecho de que provenga de un subgrupo significa que tiene un tipo de estructura interna similar que se puede utilizar para demostrar cosas sobre él.

Answer 4

aquí hay una definición de coset, y algunos ejemplos e ideas..

Dejemos que $N$ sea un subgrupo de algún grupo $G$ . Entonces, un coset de $N$ es un conjunto de forma $xN$ , donde $x\in G$ . Es decir, que $xN$ es el conjunto de todos los elementos de G que tienen la forma $ng$ para algunos $g\in N$ . Esta es la definición estándar de un coset.

Considera los enteros bajo adición. Se trata de un grupo abeliano Claramente, los enteros son un subgrupo de los enteros. El coset $n \mathbb{Z}$ consiste en todos los múltiplos enteros de n.

Ejercicio:

Demostrar que todos los cosets de un subgrupo de un grupo finito $G$ tienen el mismo tamaño. Demostrar que el conjunto de todos los cosets de un subgrupo N en G partición G.

Suponiendo que G es finito, encontrar una expresión para el tamaño de G en términos del número, y el tamaño, de los cosets.

Answer 5

Este es un ejemplo de un pequeño grupo finito utilizando $G=(\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\},\cdot)$ donde $i^2 =j^2 =k^2 =-1$ , $-i=(-1)i,$ $1^2 =(-1)^2 =1$ , $ij=-ji=k$ , $jk=-kj=i$ y $ki=-ik=j$ .

Tener una tabla de Cayley ayuda a ver esta estructura.

$$ \begin{array}{r|rrrrrrrr} * & 1 & -1 & i & -i & j & -j & k & -k \\ \hline 1 & 1 & -1 & i & -i & j & -j & k & -k\\ -1 & -1 & 1 & -i & i & -j & j & -k & k\\ i & i & -i & 1 & -1 & k & -k & -j & j\\ -i & -i & i & -1 & 1 & -k & k & j & -j\\ j & j & -j & -k & k & 1 & -1 & i & -i\\ -j & -j & j & k & -k & -1 & 1 & -i & i\\ k & k & -k & j & -j & -i & i & 1 & -1\\ -k & -k & k & -j & j & i & -i & -1 & 1\\ \end{array} $$ Claramente, $H=(\{1,-1\},\cdot)$ es un subgrupo. Si multiplico todos los miembros de $G$ con los miembros de la izquierda, $$1\{1,-1\}=\{1,-1\},$$ $$-1\{1,-1\}=\{-1,1\}=\{1,-1\},$$ $$i\{1,-1\}=\{i,-i\},$$ $$-i\{1,-1\}=\{-i,i\}=\{i,-i\}$$ $$j\{1,-1\}=\{j,-j\}$$ $$-j\{1,-1\}=\{-j,j\}=\{j,-j\}$$ $$k\{1,-1\}=\{k,-k\}$$ $$-k\{1,-1\}=\{-k,k\}=\{k,-k\}$$

Puedo ver que los cosets de mi subgrupo $H$ son $\{1,-1\}, \{i,-i\}, \{j,-j\}$ y $\{k,-k\}$ . Si multiplico por la derecha ( $Hg$ ), creo que puedo convencerte sin trabajo de que los cosets de la izquierda son iguales a los de la derecha. En ese caso, nuestro subgrupo se define como Normal.

Obviamente no son los únicos cosets que puedo encontrar, pero los cosets están en relación con un subgrupo particular. Si mi subgrupo fuera $N=(\{1,-1,i,-i\},\cdot)$ mis cosets serían $\{1,-1,i,-i\}$ y $\{j,-j,k,-k\}$ . Espero que esto ayude. Tal vez podrías intentar encontrar los cosets izquierdo y derecho del subgrupo $(\{1,i\},\cdot)$

Si mi operación fuera la adición, mis cosets serían simplemente como $g+H$ o $H+g$ .