En Stein Análisis de Fourier estoy teniendo problemas tratando de verificar la solución de la serie dada en el problema de la $(1.)$
$(1.)$
El Dirchlet problema es el anillo definido por ${{(r, \theta): p < r < 1}}$ donde $0 \leq p \leq 1$ en el radio interior. El problema a resolver:
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial{r}^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial{u}}{\partial{r}}+ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial{\theta}^{2}} = 0$$
sujeto a las condiciones de contorno:
$${ \begin{align} u(1,\theta) = f(\theta) \\ u(p,\theta) = g(\theta). \end{align} }$$ Stein argumento inicial fue escribir las soluciones para la Dirchlet Problema como lo hizo anteriormente en la siguiente forma:
$$u(r,\theta)= \sum_{}^{}c_{n}(r)e^{in\theta}$$
con $c_{n}(r) = A_{n}r^{n} + B_{n}r^{-n}, n \neq 0$ Conjunto de: $$f(\theta) \sim \sum_{}^{} a_{n}e^{in\theta}$$ y
$$g(\theta) \sim \sum_{}^{}b_{n}e^{in\theta}$$
Esto conduce a la solución
$$u(r,\theta) = \sum_{n \leq 0} (\frac{1}{p^{n}-p^{-n}})((p/r)^{n} - (r/p)^{n})a_{n} + (r^{n} - r^{-n})b_{n}]e^{in\theta} + a_{o} + (b_{o} - a_{o}\frac{logr}{logp}$$
De mirar lo que se hizo en el Capítulo 1 como un ejemplo anterior, y comparando el problema en $(1.)$la serie la solución fue obtenida a través de Sepration de Variables. Mi ataque inicial puede ser seguido en $(2.)$
$(2.)$
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial{r}^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial{u}}{\partial{r}}+ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial{\theta}^{2}} = \Delta{u}$$ $$r^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial{r}^{2}} + r\frac{\partial{u}}{\partial{r}} = -\frac{\partial^{2}u}{\partial{\theta}^{2}}$$
Conectar nuestra solución de producto: $(u(r,\theta))=F(r)G(\theta))$ $$r^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial{r}^{2}}F(r)G(\theta) + r\frac{\partial{u}}{\partial{r}}F(r)G(\theta)= -\frac{\partial^{2}u}{\partial{\theta}^{2}}F(r)G(\theta)$$
Ahora dividiendo por nuestra Solución de Producto: $$\frac{r^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial{r}^{2}}F(r)G(\theta) + r\frac{\partial{u}}{\partial{r}}F(r)G(\theta) } {F{(r)}} = \frac{-\frac{\partial^{2}u}{\partial{\theta}^{2}}F(r)G(\theta)}{G{(\theta)}} $$
Finalmente se puede observar en una forma más conveniente que tenemos las siguientes:
$$\frac{r^{2}F(r)G''(\theta)+r(G(\theta))F'(r)}{F(r)} = \frac{F(r)-G''(\theta)}{G(\theta)}$$
$$ \left\{ \begin{align} r^2G''(\theta) + r(G(\theta)F'(r)) = 0 \\ F(r) - \dfrac{F(r) - G''(\theta)}{G(\theta)} = 0 \end{align} \right. $$
$$ \left\{ \begin{align} r^{2}G''(\theta)+r(G(\theta))F'(r)\lambda F(r)=0 \\ F(r) - \lambda \frac{G''(\theta)}{G''(\theta)} = 0 \end{align} \right. $$ A partir del resultado anterior por encima estoy atascado en la elaboración de una solución de la serie a el por encima de la educación a distancia es su fundamental observaciones que me falta para solucionar el problema ?