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Comprobación de una solución de la serie de Dirichlet ' s problema mediante separación de variables

En Stein Análisis de Fourier estoy teniendo problemas tratando de verificar la solución de la serie dada en el problema de la $(1.)$

$(1.)$

El Dirchlet problema es el anillo definido por ${{(r, \theta): p < r < 1}}$ donde $0 \leq p \leq 1$ en el radio interior. El problema a resolver:

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial{r}^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial{u}}{\partial{r}}+ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial{\theta}^{2}} = 0$$

sujeto a las condiciones de contorno:

$${ \begin{align} u(1,\theta) = f(\theta) \\ u(p,\theta) = g(\theta). \end{align} }$$ Stein argumento inicial fue escribir las soluciones para la Dirchlet Problema como lo hizo anteriormente en la siguiente forma:

$$u(r,\theta)= \sum_{}^{}c_{n}(r)e^{in\theta}$$

con $c_{n}(r) = A_{n}r^{n} + B_{n}r^{-n}, n \neq 0$ Conjunto de: $$f(\theta) \sim \sum_{}^{} a_{n}e^{in\theta}$$ y

$$g(\theta) \sim \sum_{}^{}b_{n}e^{in\theta}$$

Esto conduce a la solución

$$u(r,\theta) = \sum_{n \leq 0} (\frac{1}{p^{n}-p^{-n}})((p/r)^{n} - (r/p)^{n})a_{n} + (r^{n} - r^{-n})b_{n}]e^{in\theta} + a_{o} + (b_{o} - a_{o}\frac{logr}{logp}$$

De mirar lo que se hizo en el Capítulo 1 como un ejemplo anterior, y comparando el problema en $(1.)$la serie la solución fue obtenida a través de Sepration de Variables. Mi ataque inicial puede ser seguido en $(2.)$

$(2.)$

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial{r}^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial{u}}{\partial{r}}+ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial{\theta}^{2}} = \Delta{u}$$ $$r^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial{r}^{2}} + r\frac{\partial{u}}{\partial{r}} = -\frac{\partial^{2}u}{\partial{\theta}^{2}}$$

Conectar nuestra solución de producto: $(u(r,\theta))=F(r)G(\theta))$ $$r^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial{r}^{2}}F(r)G(\theta) + r\frac{\partial{u}}{\partial{r}}F(r)G(\theta)= -\frac{\partial^{2}u}{\partial{\theta}^{2}}F(r)G(\theta)$$

Ahora dividiendo por nuestra Solución de Producto: $$\frac{r^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial{r}^{2}}F(r)G(\theta) + r\frac{\partial{u}}{\partial{r}}F(r)G(\theta) } {F{(r)}} = \frac{-\frac{\partial^{2}u}{\partial{\theta}^{2}}F(r)G(\theta)}{G{(\theta)}} $$

Finalmente se puede observar en una forma más conveniente que tenemos las siguientes:

$$\frac{r^{2}F(r)G''(\theta)+r(G(\theta))F'(r)}{F(r)} = \frac{F(r)-G''(\theta)}{G(\theta)}$$

$$ \left\{ \begin{align} r^2G''(\theta) + r(G(\theta)F'(r)) = 0 \\ F(r) - \dfrac{F(r) - G''(\theta)}{G(\theta)} = 0 \end{align} \right. $$

$$ \left\{ \begin{align} r^{2}G''(\theta)+r(G(\theta))F'(r)\lambda F(r)=0 \\ F(r) - \lambda \frac{G''(\theta)}{G''(\theta)} = 0 \end{align} \right. $$ A partir del resultado anterior por encima estoy atascado en la elaboración de una solución de la serie a el por encima de la educación a distancia es su fundamental observaciones que me falta para solucionar el problema ?

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Felix Marin Puntos 32763

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ La solución general de la $\ds{2D}$-la Ecuación de Laplace está dada por

\begin{align} \mrm{u}\pars{r,\theta} & = \pars{A\,{\theta \over 2\pi} + B}\bracks{C\ln\pars{r \over p} + D} \\[5mm] & + \sum_{n = 1}^{\infty}\left\{\bracks{% A_{n}\pars{r \over p}^{n} + B_{n}\pars{p \over r}^{n}}\sin\pars{n\theta}\right. \\[3mm] & \left.\phantom{\sum_{n = 1}^{\infty}\!\!\braces{}}+ \bracks{% C_{n}\pars{r \over p}^{n} + D_{n}\pars{p \over r}^{n}}\cos\pars{n\theta}\right\}\label{1.a}\tag{1.a} \end{align}

donde $\ds{A, B, C, D, \braces{A_{n}}, \braces{B_{n}}, \braces{C_{n}}\ \mbox{and}\ \braces{D_{n}}}$ son constantes que se determinan por las condiciones de frontera.

Ya que la solución debe ser invariante bajo $\ds{\theta \mapsto \theta + 2\pi}$, voy a la conclusión de que la $\ds{A = 0}$. En tal caso, $\ds{B}$ 'redundante' tales que puedo establecer $\ds{B = 1}$. \eqref{1.un} se reduce a: \begin{align} \mrm{u}\pars{r,\theta} & = C\ln\pars{r \over p} + D + \sum_{n = 1}^{\infty}\left\{\bracks{% A_{n}\pars{r \over p}^{n} + B_{n}\pars{p \over r}^{n}}\sin\pars{n\theta}\right. \\[3mm] & \left.\phantom{\sum_{n = 1}^{\infty}\!\!\braces{}AAAAAAAAAAA\,}+ \bracks{% C_{n}\pars{r \over p}^{n} + D_{n}\pars{p \over r}^{n}}\cos\pars{n\theta}\right\} \label{1.b}\tag{1.b} \end{align}
A continuación, \begin{align} \mrm{f}\pars{\theta} & = -C\ln\pars{p} + D + \sum_{n = 1}^{\infty}\bracks{% \pars{A_{n}p^{-n} + B_{n}p^{n}}\sin\pars{n\theta} + \pars{C_{n}p^{-n} + D_{n}p^{n}}\sin\pars{n\theta}}\label{2}\tag{2} \\[2mm] \mrm{g}\pars{\theta} & = D + \sum_{n = 1}^{\infty}\bracks{% \pars{A_{n} + B_{n}}\sin\pars{n\theta} + \pars{C_{n} + D_{n}}\sin\pars{n\theta}} \label{3}\tag{3} \end{align}

Integrando ambos miembros de \eqref{2} y \eqref{3}$\ds{\pars{0,2\pi}}$:

\begin{equation} \left\{\begin{array}{rcrcl} \ds{-\ln\pars{p}C} & \ds{+} & \ds{D} & \ds{=} & \ds{{1 \over 2\pi}\int_{0}^{2\pi}\mrm{f}\pars{\theta}\,\dd\theta} \\[2mm] && \ds{D} & \ds{=} & \ds{{1 \over 2\pi}\int_{0}^{2\pi}\mrm{g}\pars{\theta}\,\dd\theta} \end{array}\right. \end{equation}

Estas relaciones determina $\ds{C\ \mbox{and}\ D}$.

Del mismo modo, \begin{align} \int_{0}^{2\pi}\mrm{f}\pars{\theta}\sin\pars{n\theta}\,{\dd\theta \over \pi} & = A_{n}p^{-n} + B_{n}p_{n} \\[2mm] \int_{0}^{2\pi}\mrm{f}\pars{\theta}\cos\pars{n\theta}\,{\dd\theta \over \pi} & = C_{n}p^{-n} + D_{n}p_{n} \\[2mm] \int_{0}^{2\pi}\mrm{g}\pars{\theta}\sin\pars{n\theta}\,{\dd\theta \over \pi} & = A_{n} + B_{n} \\[2mm] \int_{0}^{2\pi}\mrm{g}\pars{\theta}\cos\pars{n\theta}\,{\dd\theta \over \pi} & = C_{n} + D_{n} \end{align}

Estas ecuaciones determinan $\ds{\braces{A_{n}},\braces{B_{n}},\braces{C_{n}}\ \mbox{and}\ \braces{D_{n}}}$.

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