Límites de secuencias definidas de forma recurrente.

Question

Tengo problemas para entender por qué, a la hora de encontrar el límite de una forma recurrente secuencia definida, podemos asumir que $x_n=x_{n+1}$ encontrar el límite real.

Me imaginé que tiene algo que ver con el hecho de que $\lim\limits_{n \to \infty} x_n=\lim\limits_{n \to \infty} x_{n+1}$ e intuitiva que hace perfecto sentido, pero es la teoría detrás de ella que se sustrae a mi entender (que no podemos simplemente decir que "debido a que $|x_n-x_{n+1}|$ lo suficientemente alto $n$ es muy cercano a cero, podríamos también les hace iguales", ¿verdad?)

Ejemplo: En $x_1=0$ , $ x_{n+1}=\frac{1}{1+x_n}$ yo uso la igualdad de $ L=\frac{1}{1+L}$

Esta pregunta probablemente no está muy bien formulado, pero que viene de mi falta de comprensión del problema, lo siento! (y gracias por la respuesta :)

Answer 1

No podemos asumir que $x_n=x_{n+1}$. En su lugar, supongamos que el límite existe, llame a $x$. A continuación,$\lim_{n\to\infty}x_n=x$. Esto, por definición de límite, significa que por cada $\epsilon>0$ no es un porcentaje ($N\in\mathbb N$tal que para todos los $n>N$ tenemos $|x_n-x|<\epsilon$. Intuitivamente, para cada $\epsilon>0$, la secuencia es $\epsilon$-cerca de las $x$ desde algún lugar.

Ahora, vamos a mostrar que se sigue que $\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=x$. Deje $\epsilon>0$. A continuación, para $n>N$ tenemos $n+1>N$ y por lo tanto el párrafo anterior, $|x_{n+1}-x|<\epsilon$. Así que, para todos los $n>N$, la desigualdad de $|x_{n+1}-x|<\epsilon$ mantiene. Esto significa que por cada $\epsilon>0$, el número de $x_{n+1}$ $\epsilon$- cerca de las $x$ todos los $n>N$, es decir, el límite existe y es igual a $x$.

Del mismo modo, se puede mostrar que si $\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=x$,$\lim_{n\to\infty}x_n=x$. Para ver esto, basta con escribir lo $\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=x$ significa que en términos de $\epsilon$, $N$ y $n$. Entonces usted será capaz de demostrar que $x_n$ $\epsilon$- cerca de las $x$ todos los $n>N+1$.

Lo que todo esto significa es que el $\lim_{n\to\infty}x_n=x$ sostiene precisamente si $\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=x$ mantiene, es decir, las condiciones son equivalentes.