Encontrar una forma cerrada para $\sum\limits_{i=2}^{n} \frac{H_i}{i+1}$

Question

Así que estoy tratando de hacer este molesto prueba y sin entrar en más detalles, creo que después de un buen rato de pensar que lo he encontrado. Ahora estoy atascado con un molesto suma (de sumas..) donde no acabo de saber si existe una forma cerrada y si es así cómo encontrarlo.

Así que como ya he dicho intento de encontrar una forma cerrada para la siguiente serie $\sum\limits_{i=2}^{n} \frac{H_i}{i+1}$ donde $H_n$ es la serie armónica ($\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$).

Así que sí, cualquier sugerencia de una forma cerrada de las anteriores de la serie es más que bienvenida! Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Una manipulación preliminar:

ofrece de $ $$\sum_{i=2}^{n}\frac{H_i}{i+1}=-\frac{1}{2}+\sum_{i=1}^{n}\frac{H_i}{i+1}=-\frac{1}{2}+\sum_{i=1}^{n}\frac{H_{i+1}}{i+1}-\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(i+1)^2}$: $$\sum_{i=2}^{n}\frac{H_i}{i+1}=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{H_k}{k}-\left(H_{n+1}^{(2)}+\frac{1}{2}\right)\tag{1} $ $ y ahora: $$ \sum_{k=1}^{n+1}\frac{H_k}{k}=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}\frac{1}{j}=\sum_{1\leq j\leq k\leq n+1}\frac{1}{j\cdot k}=\frac{1}{2}\left[\left(\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{i}\right)^2+\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{i^2}\right] \tag{2}$ $ conduce a: %#% $ #% _{% aquí $$ \sum_{i=2}^{n}\frac{H_i}{i+1}=\color{red}{\frac{H_{n+1}^2-H_{n+1}^{(2)}-1}{2}}.\tag{3}$está parado para $H_m^{(2)}$, como de costumbre. Hemos explotado $\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k^2}$.}

No creyentes pueden simplemente tomar $H_{m}=H_{m+1}-\frac{1}{m+1}$ como un reclamo y demuestran a través de la inducción en $(3)$.
De todos modos, la parte crucial $n$ es sólo una instancia de la siguiente identidad:

$(2)$$

Answer 2

Se puede probar también el uso de sumación por partes $$S=\sum_{i=2}^{n}\frac{H_{i}}{i+1}=\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i+1}\cdot H_{i}=H_{n}\left(H_{n+1}-\frac{3}{2}\right)-\sum_{i=2}^{n-1}\frac{\left(H_{i+1}-\frac{3}{2}\right)}{i+1} $$ hence $$\sum_{i=2}^{n}\frac{H_{i}}{i+1}=H_{n}\left(H_{n+1}-\frac{3}{2}\right)-\sum_{i=2}^{n-1}\frac{H_{i+1}}{i+1}+\frac{3}{2}\sum_{i=2}^{n-1}\frac{1}{i+1} $$ $$=H_{n}H_{n+1}-\sum_{i=2}^{n}\frac{H_{i}}{i+1}+\frac{H_{n}}{n+1}-\sum_{i=2}^{n-1}\frac{1}{\left(i+1\right)^{2}}-\frac{9}{4} $$ so $$\sum_{i=2}^{n}\frac{H_{i}}{i+1}=\color{red}{\frac{1}{2}\left(H_{n}H_{n+1}+\frac{H_{n}}{n+1}-H_{n}^{\left(2\right)}-1\right)}.$$ Tenga en cuenta que este es el resultado mismo de las otras respuestas, ya que $$H_{n}=H_{n+1}-\frac{1}{n+1}.$$

Answer 3

$\newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \sum_{i = 2}^{n}{H_{i} \over i + 1} & = \sum_{i = 2}^{n}\braces{{1 \over 2}\bracks{\pars{H_{i} + {1 \over i + 1}}^{2} - H_{i}^{2} - \pars{1 \over i + 1}^{2}}} \\[5mm] & = {1 \over 2}\sum_{i = 2}^{n}H_{i + 1}^{2} - {1 \over 2}\sum_{i = 2}^{n}H_{i}^{2} - {1 \over 2}\sum_{i = 2}^{n}{1 \over \pars{i + 1}^{2}} \\[5mm] & = {1 \over 2}\sum_{i = 3}^{n + 1}H_{i}^{2} - \bracks{{1 \over 2}\,H_{2}^{2} + {1 \over 2}\sum_{i = 3}^{n + 1}H_{i}^{2} - {1 \over 2}\,H_{n + 1}^{2}} - {1 \over 2}\sum_{i = 3}^{n + 1}{1 \over i^{2}}\quad \pars{~\mbox{note that}\ {1 \over 2}\,H_{2}^{2} = {9 \over 8}~} \\[5mm] & = {1 \over 2}\,H_{n + 1}^{2} - {9 \over 8} - \pars{-{1 \over 2} - {1 \over 8} + {1 \over 2}\sum_{i = 1}^{n + 1}{1 \over i^{2}}} = \bbox[8px,border:1px groove navy]{{1 \over 2}\,H_{n + 1}^{2} - {1 \over 2} - {1 \over 2}\,H_{n + 1}^{\pars{2}}} \end{align}