Integrales Impropias.

Question

Me gustaría algo de ayuda para evaluar esta integral:

$$I=\int^\infty_0 \frac{x-1}{\ln(x)}\,e^{-x} \,dx$$

Intenté utilizar el parámetro y luego tengo un integral de la función gamma que no sé cómo integrarlo.

Cualquier ayuda la voluntad se agradeceria mucho.

Answer 1

Primero vamos a $x = \mathrm{e}^t$, el cambio de las variables de $\mathrm{d} x = \mathrm{e}^t \mathrm{d} t$

$$I = \int_{-\infty}^\infty \exp( t - \mathrm{e}^t ) \frac{\mathrm{e}^t - 1}{t} \mathrm{d} t$$ Con el fin de evaluar la integral, evaluar primero

$$\mathcal{I}_s = \int_{-\infty}^\infty \exp( t - \mathrm{e}^t ) \mathrm{e}^{s, t} \mathrm{d} t = \int_{-\infty}^\infty \exp( (s+1)t - \mathrm{e}^t ) \mathrm{d} t$$ El cambio de las variables de vuelta a $x$: $$\mathcal{I}_s = \int_0^\infty x^{s} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} x = \Gamma(s+1)$$ Ahora uso $\int_0^1 \mathrm{e}^{s t} \mathrm{d} s = \frac{\mathrm{e}^t - 1}{t}$ para obtener $$I = \int_0^1 \mathcal{I}_s \, \mathrm{d} = \int_0^1 \Gamma(1+s) \, \mathrm{d} s$$ La integral de la $I$, por lo tanto, no tiene una forma cerrada. Sus aproximado numérico valor: $$I = 0.9227459506806306051438805$$

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Añadido: la Relectura de la respuesta, se puede renunciar a los cambios de las variables, observando $\int_0^1 x^s \mathrm{d} s = \frac{x-1}{\log x}$. Entonces

$$I = \int_0^\infty \frac{x-1}{\log x} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} x = \int_0^\infty \int_0^1 x^s \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} \mathrm{d} x = \int_0^1 \int_0^\infty x^s \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} x \mathrm{d} = \int_0^1 \Gamma(1+s) \mathrm{d} s$$