Cómo calcular$\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{e^{x^2} -1}{x^2}\right)^\frac{1}{x^2}$?

Question

Tengo un problema con este límite, no sé qué método utilizar. No tengo idea cómo computarlo. ¿Puede explicar el método y los pasos utilizados? Gracias

$$\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{e^{x^2} -1}{x^2}\right)^\frac{1}{x^2}$$

Nota: En una versión anterior de esta pregunta el límite fue escrito como $\left(\frac{(e^{x})^2 -1}{x^2}\right)^\frac{1}{x^2}$.

Answer 1

Tope derecho. Establece $y=x^{-1}$ $y\to \infty$ obtenemos $$ \left (y ^ 2 \left(e^{2/y}-1\right)\right) ^ {y ^ 2} \approx \left(y^2\cdot \frac{2}{y}\right)^{y^2} \to \infty. $$

Límite izquierda. Supongamos ahora que $y=-x^{-1}$. Entonces como $y\to \infty$ tiene $$ \left (y ^ 2 \left(e^{-2/y}-1\right)\right) ^ {-y ^ 2} \approx \left (y ^ 2\cdot \frac{-2}{y}\right)^{-y^2}=\left (\frac {1} {2y} \right) ^ {y ^ 2} \to 0. $$

Los límites son diferentes, por lo tanto no existe.

Answer 2

Deje que

$$y = \left(\frac{e^{2x} -1}{x^2}\right)^\frac{1}{x^2}.$$

Entonces

$$\ln y = \frac{1}{x^2} \ln\left(\frac{e^{2x} -1}{x^2}\right).$$

Tenga en cuenta que

$$\lim_ \limits{x \to 0^+} \ln\left(\frac{e^{2x} -1}{x^2}\right) = \lim_ \limits{x \to 0^+} \ln\left(\frac{1+2x+4x^2+\cdots-1}{x^2}\right)=\infty,$$

pero %#% $ #%

no está definido ya que tiene $$\lim_ \limits{x \to 0^-} \ln\left(\frac{e^{2x} -1}{x^2}\right) = \lim_ \limits{x \to 0^-} \ln\left(\frac{1+2x+4x^2+\cdots-1}{x^2}\right)$ dentro del $-\infty$.

Por lo tanto el límite no existe