¿Cuál es el más alto coeficiente del polinomio $t(t+1)(t+2) \cdots (t+n)$ % arbitrario $n$?

Question

Cómo encontrar el coeficiente de en el polinomio

$t(t+1)(t+2) \cdots (t+n)$ arbitrarias $n$

?

Según yo debería ser la suma de los productos de los números de $1,2,\cdots,n$ de los que tomaron $k$ a un tiempo, es decir, se trata de una suma de $n \choose k$ de los productos. Ahora, si esto es cierto, entonces ¿cómo puedo averiguar el coeficiente más elevado en esa expansión?Me siento un verdadero problema en ese caso.Me tomará un par de ejemplos y observar que el coeficiente de $t^2$ es el más alto entre todos los demás si $n \geq 2$.Pero yo no puedo probarlo en general.

Por favor me ayude en probar este.

Gracias de antemano.

Answer 1

Tal vez falta un índice de aquí, pero a grandes rasgos, esto es:

$$ a_{k}=t^k \sum_{i=1}^{(n \ n+1-k)}\prod_{j \text{ en } C_i(n,n+1-k)} j $$

$C(n,k)$ es el conjunto de todas las combinaciones de los números enteros de 1 a $n$, teniendo en $k$ en cada momento, y $C_i$ es su $i$elemento th. El tamaño de $C(n,k)$ es el coeficiente binomial $(n \ k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

$$ C(n,0)=\{\}\\ C(n,1)=\{\{1\},...,\{n\}\}\\ C(n,2)=\{\{1,2\},\{1,3\},...,\{n-2,n\},\{n-1,n\}\}\\ ...\\ C(n,n-1)=\{\{2,...n\},\{1,3,...,n\},\{1,...,n-2,n\},\{1,...,n-1\}\}\\ C(n,n)=\{\{1,...n\}\}\\ C(n,n+1)=\{\}\\ $$