¿Cuál es el resultado promedio de rodar dos dados, y sólo tomando el valor de mayor dados rodillo?
Para asegurarse de que la situación que estoy preguntando es clara, aquí hay un ejemplo: yo tirar dos dados y uno aparece como una de cuatro y el otro un seis, el resultado sería seis.
¿La media dados rodillo ser igual o superior a lanzar un dado?
Para $k=1,\dots,6$ hay $k^2$ formas de obtener dos números menos de o igual a $k$. Para obtener dos números cuya máxima es $k$ I debe obtener dos números que son menores o iguales a $k$, pero no dos números que son menores o iguales a $k-1$, por lo que hay $k^2-(k-1)^2=k^2-(k^2-2k+1)=2k-1$ formas de obtener dos números cuya máxima es $k$. Por lo tanto, la probabilidad de obtener un máximo de $k$ es
$$\frac{2k-1}{36}\;,$$
y el valor esperado de la cantidad máxima es de
$$\begin{align*} \sum_{k=1}^6k\cdot\frac{2k-1}{36}&=\frac1{36}\sum_{k=1}^6\left(2k^2-k\right)\\ &=\frac1{18}\sum_{k=1}^6k^2-\frac1{36}\sum_{k=1}^6k\\ &=\frac{6\cdot7\cdot13}{18\cdot6}-\frac{6\cdot7}{36\cdot2}\\ &=\frac{91}{18}-\frac{21}{36}\\ &=\frac{161}{36}\\ &=4.47\overline{2}\;. \end{align*}$$
Por supuesto, esto es más grande que el valor esperado de $\frac72=3.5$ por una sola tirada de un dado: recoger el máximo de los dos números se puede esperar para sesgar el resultado hacia arriba.
Esto es muy demorado, pero considerar el caso con un $n$colindado muere. Como ya se ha observado, el valor esperado de un máximo de dos $n$colindado mueren es
$${1 \over n^2} \sum_{k=1}^n (2k^2-k)$$
y podemos escribir esta suma explícitamente. En particular, se puede ampliar para obtener
$${1 \over n^2} \left( \left( 2 \sum_{k=1}^n k^2 \right) - \sum_{k=1}^n k \right)$$ y recordando las fórmulas para aquellas sumas, esto es
$$ {1 \over n^2} \left( {2n(n+1)(2n+1) \over 6} - {n(n+1) \over 2} \right) $$
o después de algunos cambios
$$ {(n+1)(4n-1) \over 6n}. $$
En particular, esto es, aproximadamente,$2n/3$. Esto podría haber sido adivinado si usted sabe que la expectativa de un máximo de dos uniforme de variables aleatorias en $[0, 1]$ tiene la distribución beta $B(2,1)$, que tiene una media $2/3$.
El número de maneras de rodar un número $x$ bajo tu definición sería $2(x-1) + 1$.
Por lo tanto el valor esperado sería $$E[X] = \sum_{x=1}^6\frac{2(x-1)+1}{36}x = \frac{1}{36}\sum_{x=1}^6(2x^2 - x) = \frac{161}{36} \approx 4.47$ $ por eso la media es considerablemente más alta que el promedio de un solo dado, ser $3.5$.
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