La comprensión de Alexandroff compactification

Question

Es el Alexandroff de un punto de compactification de un localmente compacto Hausdorff espacio ($\mathbf{LCHaus}$) un functor a la categoría de compactos de Hausdorff espacios ($\mathbf{CHaus}$)? A mí me parece que uno tiene que considerar sólo la correcta continua de los mapas como morfismos.

Si uno lo hace, entonces la mayoría de la definición natural de la inducida por el mapa de $\hat f\colon\hat X\to \hat Y$ parece que funciona (sólo enviar$x\mapsto f(x)$$\infty_X\mapsto \infty_Y$, la continuidad debe verificarse sólo en abrir los conjuntos que contengan $\infty$), pero un montón de situaciones interesantes parecen ser excluidos: uno tiene la esperanza de que (por ejemplo) un mapa de $h\colon (0,1)\to \mathbb R$ tal que $$\lim_{x\to 1^-}h(x)=\lim_{x\to 0^+}h(x)$$ admite una extensión de $\hat h\colon \widehat{(0,1)}\to \mathbb R$; pero lo que si $h$ no es la correcta? Es "fuera" de la categoría que me estoy planteando. Así:

1. ¿Cómo se puede definir adecuado topológico categorías entre las que se $\widehat{(-)}$ es un functor?

2. Moralmente un compactification debe ser una izquierda adjunto a una inclusión (en este caso $\iota\colon \mathbf{CHaus}\hookrightarrow\mathbf{LCHaus}$), pero incluso si parece evidente que (tomando sólo propio de los mapas) $$\hom_{\mathbf{CHaus}}(\hat X,Y)\cong \hom_{\mathbf{LCHaus}}(X,\iota Y)$$ the Alexandroff correspondence seems to be ill-behaved with respect to colimits... is there any hope to make $X\mapsto \hat X$ adjuntos a algo?

Gracias por su atención

Answer 1

Deje $\mathsf{LCH}$ ser la categoría de localmente compacto Hausdorff espacios con continua adecuada mapas y $\mathsf{CH}$ a la totalidad de la subcategoría de compacto de Hausdorff espacios continuo con los mapas. La extendemos a la categoría de $\mathsf{CH}_*$ de punta compacto Hausdorff espacios con punta continuo de los mapas. El Alexandrov compactification es un functor $$A : \mathsf{LCH} \to \mathsf{CH}_*.$$ Por supuesto, elegimos $\infty$ a ser nuestro punto de partida. Por desgracia, no es la izquierda adjunto para los desmemoriados functor $U : \mathsf{CH}_* \to \mathsf{LCH}$. Sin embargo, tiene la siguiente característica universal:

Para $X \in \mathsf{LCH}$ $(Y,y_0) \in \mathsf{CH}_*$ nos dicen que un mapa continuo $f : X \to Y$ es adecuado, lejos de la $y_0$ si para todos los subconjuntos compactos $K \subseteq Y$ $y_0 \notin K$ la preimagen $f^{-1}(K) \subseteq X$ es compacto. Se obtiene un conjunto $\mathrm{Hom}_{y_0}(X,Y)$ y es fácil ver que $$\mathrm{Hom}_{\mathsf{CH}_*}(A(X),(Y,y_0)) \cong \mathrm{Hom}_{y_0}(X,Y).$$ Observe que el lado izquierdo (estrictamente) contiene $\mathrm{Hom}_{\mathsf{LCH}}(X,U(Y,y_0))$, el conjunto de continua adecuada mapas de $X \to Y$. Es muy instructivo considerar el caso especial $X=\mathbb{N}$, donde los mapas son sólo las secuencias y "propio, lejos de la $y_0$" significa, precisamente, la convergencia a $y_0$.

Es fácil comprobar que $A$ conserva finito co-productos. Pero no se conserva el infinito co-productos. Por ejemplo, $(A(\{n\}) \to A(\mathbb{N}))_{n \in \mathbb{N}}$ no es un subproducto de diagrama en la $\mathsf{CH}_*$, porque esto significaría que cada secuencia converge. En particular, $A$ no es de izquierda adjunto a cualquier functor.

Answer 2

Aquí es una manera de obtener un functor de Alexandroff compactification, aunque se requiere de cambios significativos:

Deje $\mathsf{LCH}_\hookrightarrow$ ser la categoría de localmente compacto Hausdorff espacios y abrir incrustaciones, y $\mathsf{CH}_*$ la categoría de punta compacto Hausdorff espacios y señaló continua de los mapas. Entonces hay una contravariantefunctor $$\widehat{(-)} : \mathsf{LCH}_\hookrightarrow^{\rm op} \to \mathsf{CH}_*$$ dada por Alexandroff extensión de^$\dagger$ sobre los espacios. Si $f : X \hookrightarrow Y$ es un espacio abierto de la incorporación de la LCH espacios, hay un inducida por el mapa de $f^* : \hat{Y} \to \hat{X}$ donde: $$f^*(y) = \begin{cases} x & y = f(x), \\ * & y \not\in \operatorname{im}(f). \end{casos}$$ Tenga en cuenta que el punto base $* \in \hat{Y}$ no está en la imagen de$f$, por lo que obtiene asignada a la base del punto de $* \in \hat{X}$. No es difícil comprobar que éste es continuo, debido a que $f$ fue un abierto de incrustación. Finalmente, es claro que la construcción es functorial.

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^$\dagger$ Si el espacio ya está compacto, este no es un compactification -- ver Incnis Irme del comentario.