Se sabe que la probabilidad de seleccionar $ n $ números naturales al azar y terminar con un máximo común divisor igual a uno es $ \prod (1-p^{-n}) = 1/\zeta(n) $ . Sin embargo, un GCD total de 1 no descarta ninguna de las parejas entre el conjunto de $ n $ números que comparten un factor común. ¿Cuál es la probabilidad ninguno de ellos comparten un factor común? (Como existe la posibilidad de que la "selección aleatoria" sea ambigua, vamos a entender que se elige con probabilidad uniforme de entre { $ 1,2,3,\dots, N$ } como $N \to \infty $ .)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esta respuesta es a nivel heurístico; no pretendo demostrar rigurosamente el resultado.
La probabilidad $\prod (1-p^{-n})$ puede derivarse del hecho de que para un tamaño suficientemente grande $N$ la probabilidad de que cada número sea divisible por un primo determinado $p$ es $p^{-1}$ por lo que la probabilidad de todos los $n$ números siendo así divisibles (lo que llevaría a que el gcd no fuera $1$ ) es $p^{-n}$ . Aplicando este razonamiento a su caso, tenemos que la probabilidad de que no haya más de uno de los $n$ números que son divisibles por $p$ es la suma de las probabilidades de que cero o uno de ellos sea divisible por $p$ que es
$$\binom n0\left(\frac{p-1}{p}\right)^n+\binom n1\left(\frac{p-1}{p}\right)^{n-1}\frac1p=\left(1-\frac1p\right)^{n-1}\left(1+\frac{n-1}p\right)\;.$$
Así que podríamos esperar que la probabilidad que buscas esté dada por
$$p_n=\prod_p\left(1-\frac1p\right)^{n-1}\left(1+\frac{n-1}p\right)\;.$$
No sé si es posible evaluar esto Producto Euler explícitamente. Numéricamente (tanto evaluando el producto de Euler como generando grandes números pseudoaleatorios), obtengo
$$ \begin{array}{|c|c|} n&p_n\\ \hline 1&1\\ 2&0.6079\\ 3&0.2867\\ 4&0.1149\\ 5&0.0409\\ \end{array} $$
Por supuesto $p_2=1/\zeta(2)$ ya que en ese caso las dos condiciones coinciden.
P.D.: El producto de Euler se puede evaluar numéricamente de forma más eficiente si lo reescribimos como
$$p_{n+1}=\prod_p\left(1-\frac1p\right)^n\left(1+\frac np\right)=\prod_p\left(1-\frac1{p^2}\right)^n\frac{1+\frac np}{\left(1+\frac 1p\right)^n}=\zeta(2)^{-n} \prod_p\frac{1+\frac np}{\left(1+\frac 1p\right)^n}\;,$$
ya que el producto restante converge más rápidamente. (Además, se parece más a algo que podría tener una forma cerrada).
