Deje$ABC$ ser un triángulo. Si$$\sum_{cyc}\frac{BC}{4AC\cos^2({\frac{\angle BAC}{2})}+BC}=\frac{3}{4}$$ then the triangle is equilateral? We can check if we set $ \ widehat {BAC} = \ pi / 3$ and $ AB = BC = CA $ que guarda la relación. Si es así, ¿cómo probar esto? ¡Gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
He reescrito el plazo para esto:
$$t(a,b,c)=\frac{a}{4b\left(\frac12+\frac{b^2+c^2-a^2}{4bc}\right)+a}$$
Se basa en la ley del coseno $\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ y la mitad del ángulo de fórmula $\cos^2\frac{\alpha}2=\frac{1+\cos\alpha}{2}$. Ahora son esencialmente preguntando si
$$p(a,b,c)=t(a,b,c)+t(b,c,a)+t(c,a,b)-\tfrac34$$
tiene ceros positivos $a,b,c$ que cumplir también con el triángulo de las desigualdades. En primer lugar, su fórmula es la escala invariante, por lo que w.l.o.g. podemos suponer $a=1$. También puede omitir el denominador de la expresión completa, así que se queda con un sexto grado del polinomio en dos variables:
$$3a^6+5a^5b-5a^4b^2-12a^3b^3-a^2b^4+7ab^5+3b^6+7a^5c+12a^4bc-5a^3b^2c-3a^2b^3c+12ab^4c+5b^5c-a^4c^2-3a^3bc^2-3a^2b^2c^2-5ab^3c^2-5b^4c^2-12a^3c^3-5a^2bc^3-3ab^2c^3-12b^3c^3-5a^2c^4+12abc^4-b^2c^4+5ac^5+7bc^5+3c^6$$
Feo. Pero uno puede hacer matemáticas en la eso. Por ejemplo, uno puede mirar para el especial de los valores de $b$ cuando el número de valores asociados a $c$ va a cambiar. Hay cuatro de ellos, calculado como raíces de la discriminante de la anterior polinomio:
$$ b_1\approx0.0121788129\qquad b_2=1\qquad b_3\approx89.092238572\qquad b_4\approx1201.1620407 $$
Teóricamente, usted puede calcular el correspondiente $c$ valores para cada posición en el medio. Mirando a $p(1,b,b-1), p(1,b,b+1), p(1,b,1-b)$ se puede ver que no hay ninguna posición entre estos $b_i$ donde el triángulo resultante sería degenerado, es decir, que tienen una desigualdad de triángulo satisfecho con la igualdad. Hay soluciones en$b\le0$$b=1$, pero la primera está fuera de nuestro alcance y el segundo es uno de los puntos especiales, que vamos a tratar en un momento. También ver el $p(1,b,0)$ encontrar signo de cambios, es decir, lugares donde la positividad de la restricción podría comenzar a ser satisfecho. Encontrará soluciones a $b\le0$$b=1$, pero también uno en $b_5=\frac{\sqrt{37}-1}{6}\approx0.8471270884$.
A continuación, puede tomar de cada rango (es decir, $b\in(0,b_1), (b_1,b_5), (b_5,b_2), (b_2,b_3), (b_3,b_4), (b_4,\infty)$ resp.) y calcular un conjunto de $c$ valores en cualquier lugar en el rango. Usted encontrará que todos ellos violan una desigualdad de triángulo o de otra, o la positividad de la condición. Puesto que el $c$ valores de forma continua las curvas algebraicas entre los especiales de a $b_i$, y ya hemos demostrado que ninguna de estas condiciones cambian en el interior de las áreas entre los especiales de a $b_i$ de los valores, sabemos que no puede haber ninguna solución en las diferentes áreas.
Así que todo lo que queda es la informática válido $c$ valores en cada uno de los especiales de a $b_i$ sí. Tendrías que hacerlo con exacta de la aritmética, es decir, números algebraicos. Entonces usted tiene un conjunto finito de combinaciones posibles, y se puede comprobar que $a=b=c=1$ es el único que satisface todas triángulo de las desigualdades y la positividad de las restricciones.
Esta es una muy feo solución, pero hace el trabajo. Si alguien tiene una solución mejor, me gustaría oír hablar de eso.
