Ecuación geodésica de conservación energía-momento

Question

He estado leyendo la excelente revisión de Eric Poisson encontrado aquí. Mientras estudiaba se me tropecé en una prueba de que yo no puedo hacer... no puedo encontrar una manera de ir de Eq.(19.3) antes de la Eq.(19.4) (que es sin numerar).

He sido capaz de hacer algunos avances (que presento a continuación), pero no puede llegar a la respuesta correcta... por Favor alguien que me ayude. Es realmente frustating...

Gracias

Dada la energía-impulso tensor$$T^{\alpha\beta}\left(x\right)=m{\displaystyle \int_{\gamma}\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}\left(x,z\right)g^{\beta}{}_{\nu}\left(x,z\right)\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\delta_{4}\left(x,z\right)d\lambda,}$$

uno puede tomar es el de la divergencia\begin{alignedat}{1}\nabla_{\beta}T^{\alpha\beta} & =m{\displaystyle \int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\delta_{4}\left(x,z\right)\right]d\lambda}=\\ & =m{\displaystyle \int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\right]\delta_{4}\left(x,z\right)d\lambda+m{\displaystyle \int_{\gamma}\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\nabla_{\beta}\left[\delta_{4}\left(x,z\right)\right]d\lambda.}} \end{alignedat}

Pero el uso de Eq.13.3 de la referencia se encuentra que la divergencia de la energía-impulso tensor también está dada por\begin{alignedat}{1}\nabla_{\beta}T^{\alpha\beta} & =m{\displaystyle \int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\delta_{4}\left(x,z\right)\right]d\lambda}=\\ & =m{\displaystyle \int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\right]g^{\beta}{}_{\nu}\delta_{4}\left(x,z\right)d\lambda-m{\displaystyle \int_{\gamma}\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\nabla_{\nu}\left[\delta_{4}\left(x,z\right)\right]d\lambda,}} \end{alignedat}

Lo que significa que$$m{\displaystyle \int_{\gamma}\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\nabla_{\beta}\left[\delta_{4}\left(x,z\right)\right]d\lambda=-m{\displaystyle \int_{\gamma}\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\nabla_{\nu}\left[\delta_{4}\left(x,z\right)\right]d\lambda,}}$$

por lo que debe ser cero (por favor corríjanme si estoy equivocado).

A continuación, el uso de Ecualizadores.(5.14) y (13.3), la divergencia de la energía-impulso tensor es simplemente\begin{alignedat}{1}\nabla_{\beta}T^{\alpha\beta} & =m{\displaystyle \int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\right]\delta_{4}\left(x,z\right)d\lambda}=\\ & =m{\displaystyle \int_{\gamma}\frac{D}{d\lambda}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}\dot{z}^{\mu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\right]\delta_{4}\left(x,z\right)d\lambda}+\\ & \,\,\,+m{\displaystyle \int_{\gamma}\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}\dot{z}^{\mu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\nabla_{\beta}\left[g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\nu}\right]\delta_{4}\left(x,z\right)d\lambda.} \end{alignedat}

Si lo que he hecho es correcta, entonces la comparación con la referencia al resultado de la última plazo debe ser cero. Puede alguien pensar ¿por qué?

Pensé que, puesto que la derivada covariante se toma en el punto de $x$ a continuación, $g^{\beta}{}_{\nu}\nabla_{\beta}\dot{z}^{\nu}$ es cero, pero entonces, ¿qué prohíbe $g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\nu}\nabla_{\beta}\dot{z}^{\mu}$ para ser igual a cero?

Answer 1

Voy abuso de notación un poco, pero espero que no parece terrible. Después de todo, yo sólo abuso de notación: no niños!

Truco 1: Parametrizar por la Longitud Adecuada. Vamos a recoger por nuestro afín parámetro $\lambda=s$ de la longitud correcta. Entonces la tensión tensor de energía se convierte en $$\tag{1}T^{\alpha\beta}(x)=m\int_{\gamma}u^{\alpha} u^{\beta}\frac{\delta^{(4)}\bigl(x,z(s)\bigr)}{\sqrt{|g|}}\,\mathrm{d}s$$ donde$u^{\alpha}=\mathrm{d}x^{\alpha}/\mathrm{d}s$$g=\det{g_{\mu\nu}}$.

Truco 2: Derivada Covariante Truco. Podemos escribir $$\nabla_{\mu}f^{\mu}=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_{\mu}(\sqrt{|g|}f^{\mu})$$ para arbitrario $f^{\mu}$.

Ejercicio: Uso de Poisson notación (13.2), tenemos $$\delta(x,x') = \frac{\delta^{(4)}(x-x')}{\sqrt{|g|}} = \frac{\delta^{(4)}(x-x')}{\sqrt{|g'|}}$$ y por lo tanto el uso de nuestro Derivada Covariante truco, encontrar $$\nabla_{\mu}\delta(x,x')=???$$

Esto le dirá que $$\int u^{\alpha}u^{\beta}\nabla_{\alpha}\delta(x,x')\,\mathrm{d}s = \mbox{boundary terms}$$ y así podemos pasar por alto.

Comentario 1. Usted está en el error de escritura \begin{alignedat}{1}\nabla_{\beta}T^{\alpha\beta} & =m{\displaystyle \int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\delta_{4}\left(x,z\right)\right]d\lambda}=\\ & =m{\displaystyle \int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\right]\delta_{4}\left(x,z\right)d\lambda-m{\displaystyle \int_{\gamma}\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\nabla_{\nu}\left[\delta_{4}\left(x,z\right)\right]d\lambda,}} \end{alignedat} Esto debería haber sido una simple aplicación de la regla del producto. Es decir, el signo menos se debe a un signo más.

Observación 2. ¿Por qué deberíamos esperar el lado derecho de la $\nabla_{\beta}T^{\alpha\beta}=0$? Bien, pues partiendo de la ecuación de campo es $\nabla_{\beta}G^{\alpha\beta}$ y este es idéntica a cero.

Esta es la razón por la que hemos configurado $$\tag{2}m\int_{\gamma}\nabla_{\beta}\left[\frac{g^{\alpha}{}_{\mu}g^{\beta}{}_{\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}}\right]\delta\bigl(x,z\bigr)\,\mathrm{d}\lambda=0.$$ ...que es precisamente la ecuación geodésica de un punto de partículas como se discutió en la de Poisson el artículo de la sección 3.

Editar Podemos reescribir (2) desde ${g^{\alpha}}_{\beta}={\delta^{\alpha}}_{\beta}$ es la delta de Kronecker. Así $$\tag{3}m\int_{\gamma}\nabla_{\nu}\left[\frac{\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\nu}}{\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{z}^{\alpha}\dot{z}^{\beta}}}\right]\delta\bigl(x,z\bigr)\,\mathrm{d}\lambda=0.$$ Pero si elegimos la arclength como parámetro, esto se convierte en simplemente $$\tag{4}m\int_{\gamma}\nabla_{\nu}(u^{\alpha}u^{\nu})\delta\bigl(x,z\bigr)\,\mathrm{d}\lambda=0.$$ Genial, pero realmente es $$\tag{5}\nabla_{\nu}(u^{\alpha}u^{\nu})=0?$$ Recordemos para una geodésica mediante arclength parametrización tenemos $$u_{\mu}u^{\mu}=1\implies u_{\mu}\nabla_{\nu}u^{\mu}=0.$$ Por lo tanto (5), cuando se contrajo por un no-vector negativo (es decir $u_{\alpha}$) se convierte en \begin{alignedat}{1}u_{\alpha}\nabla_{\nu}(u^{\alpha}u^{\nu}) &= u_{\alpha}\underbrace{u^{\nu}\nabla_{\nu}u^{\alpha}}_{=0} + \underbrace{u_{\alpha}u^{\alpha}}_{=1}\nabla_{\nu}u^{\nu}\\ &=\nabla_{\nu}u^{\nu}\end{alignedat} Pero esto es una continuidad del tipo de la ecuación (y si usa el truco de los 2, lo que realmente se asemeja a la de electromagnetismo de la ecuación de continuidad!).

Ahora podemos volver, y por la inspección encontramos $$\nabla_{\nu}(u^{\alpha}u^{\nu})=\left(\begin{array}{c}\mbox{Geodesic}\\ \mbox{Equation}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\mbox{Continuity}\\ \mbox{Equation}\end{array}\right).$$ Este es, por supuesto, $\nabla_{\mu}T^{\mu\nu}$. ¿Por qué deberíamos esperar que sea cero?

Así, si las ecuaciones de campo de Einstein celebrar, entonces, $$G^{\mu\nu}-\kappa T^{\mu\nu}=0$$ y por otra parte $$\nabla_{\mu}(G^{\mu\nu}-\kappa T^{\mu\nu})=0.$$ Sin embargo, $\nabla_{\mu}G^{\mu\nu}=0$ idéntica gracias a la geometría.