Creo que he encontrado un tercer y cuarto grupo de grado cuatro. Decirme lo equivocado que estoy.

Question

De acuerdo a cada una de las fuentes que pude encontrar, la Cíclica grupo Z4 y el Klein cuatro grupos son los únicos dos grupos de grado 4. Como soy nuevo en el grupo de teoría, me decidí a averiguar los grupos por mí mismo mediante la creación de tablas de multiplicar a través de simples pasos lógicos. Fue un proceso trivial para los grados 1,2 y 3, pero cuando llegué al grado 4 he encontrado "nuevos grupos". He estado tratando de averiguar de dónde me salió mal, así que me voy a dar las tablas de multiplicar de mis "nuevos grupos" y la esperanza de que alguien me diga por qué no son en realidad grupos. (También he encontrado un par de grupos de grado 5, y por lo que sé, hay una regla acerca de los grupos de primer grado que decir que yo debería estar equivocado, pero no sé por qué el extra que he encontrado no son grupos. Yo espero que estas respuestas nos ayudarán a aclarar eso para mí).

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$$\begin{matrix}1&2&3&4\\ 2&1&4&3\\ 3&4&2&1\\ 4&3&1&2\end{de la matriz}$$

y:

$$\begin{matrix}1&2&3&4\\ 2&4&1&3\\ 3&1&4&2\\ 4&3&2&1\end{de la matriz}$$

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Vamos a llamar a su primer grupo de $G = \{e,a,b,c\}$, y el segundo grupo $H = \{1,x,y,z\}$.

Tenga en cuenta que $b^2 = a$, por lo que podemos re-escribir $G = \{e,b^2,b,c\}$. Siguiente nota:$b^3 = b^2b = ab = c$, por lo que tenemos $G = \{e,b^2,b,b^3\} = \{e,b,b^2,b^3\}$, dejando claro que $b$ genera $G$.

Esto sugiere que el mapa de $\Bbb Z_4 \to G$:

$0 \mapsto e\\1 \mapsto b\\2 \mapsto b^2 = a\\3 \mapsto b^3 = c$

y para comprobar esto es un isomorfismo, usted necesita sólo verificar:

$k + m(\text{ mod }4) \mapsto b^{k+m(\text{ mod }4)} = b^kb^m$ $k, m \in \{0,1,2,3\}$

Un análisis similar se tiene con $H$ $x$ como un generador.

Usted está en lo correcto, en cierto sentido, en que los grupos son de hecho diferentes productos en un conjunto de cuatro elementos, pero "re-denominación" de los elementos conduce al mismo tipo de estructura de grupo (cíclico), que es lo que la noción de isomorfismo pretende capturar (la misma en todos los algebraicas maneras, pero no necesariamente idénticos conjuntos).

Answer 2

Ambos son isomorfos a $\Bbb Z_4$. La clave es encontrar el elemento de orden $2$, por lo que la correspondencia es $$\begin {array}{c|c|c} \Bbb Z_4 & 1 & 2 \\ \hline 0 &1&1\\1&3&3\\2&2&4\\3&4&2\end {array}$$ As $\Bbb Z_4$ is isomorphic under the interchange $1 \leftrightarrow 3$ que usted puede hacer ese swap aquí si quieres.