El volumen de la intersección de dos $n$-dimensiones de los cubos

Question

Deje $U \in \mathbb{R}^n$ ser una matriz unitaria y $K \subset \mathbb{R}^n$ $n$- dimensional del cubo centrado en cero. Vamos \begin{align} K_1=U \cdot K= \{ y: y=U x, x\in K\}. \end{align}

Que es $K_1$ es una rotación de $K$. A continuación, vamos a ${\rm Vol}(\cdot)$ ser un volumen operador (medida de Lebesgue).

Podemos dar a los límites inferiores en \begin{align} {\rm Vol}( K_1 \cap K), \end{align}

Los límites superiores son simples \begin{align} {\rm Vol}( K_1 \cap K) \le \min ({\rm Vol}( K_1 ),{\rm Vol}( K)), \end{align} y apretado si $U$ es una matriz identidad.

Límite inferior Basado en la inclusión Deje $B$ ser una bola de radio $r$ tal que \begin{align} B \subset K_1\cap K, \end{align} entonces \begin{align} \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)} r^n =Vol(B) \le {\rm Vol}( K_1 \cap K)= 2^nr^n . \end{align}

Pero, puesto que el $\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)} \to 0$$n \to \infty$$2^n \to \infty$$n \to \infty$, el inferior y el superior, los límites no coinciden.

Pregunta: ¿Podemos venir para arriba con un límite inferior y superior de los límites de la misma orden de las $n \to \infty$.

Answer 1

Considere la posibilidad de la $\|\cdot\|_{\infty}$-norma de la bola de radio $\frac{1}{2},$ $K=\{x\in\mathbb{R}^{n}:\max_{i}|x_{i}|\leq 1/2\}.$ Esta es una unidad de cubo centrado en $0$, y que contenga claramente la distancia Euclídea de la unidad de la bola de radio $\frac{1}{2}.$ Si se aplica una transformación unitaria a $K,$ tenemos otra unidad de cubo centrado en$0,$, pero la distancia Euclídea de la unidad de la bola de radio $\frac{1}{2}$ permanece sin cambios, y todavía es claramente contenida dentro de $UK.$ Así, dada una colección de matrices unitarias $\{U_{k}\}_{k\geq 1},$ realmente tenemos que $$V_{n}\left(\frac{1}{2}\right)\leq \mathrm{Vol}\left(\bigcap_{k\geq1} U_{k}K\right),$$ if $K$ is an $n$-dimensional unit cube centered at $0,$ and where $V_{n}(r)$ is the volume of the $n$-dimensional Euclidean ball of radius $r$.