Resolver un sistema de ecuaciones diferenciales de orden 3

Question

Tenemos el conjunto de ecuaciones diferenciales

$$w_{1}+\frac{d^{2}}{dt^{2}}w_{1}-3w_{2}-\frac{d}{dt}w_{2}+\frac{d^{2}}{dt^{2}}w_{2}+\frac{d^{3}}{dt^{3}}w_{2}=0$$

$$w_{1}-\frac{d}{dt}w_{1}-w_{2}+\frac{d}{dt}w_{2}=0$$

La cuestión es mostrar que cada solución fuerte de lo anterior puede ser escrita como $$w(t)=\begin{bmatrix}\alpha_{1}-3\alpha_{2}\\\alpha_{1}\end{bmatrix}e^{t}+\begin{bmatrix}\alpha_{2}\\\alpha_{2}\end{bmatrix}te^{t}+\begin{bmatrix}\beta\\\beta\end{bmatrix}e^{-2t}+\begin{bmatrix}\gamma\\\gamma\end{bmatrix}e^{-t}$$

En otras palabras, quiero encontrar una solución a $(P(\frac{d}{dt})w)(t)=0$ todos los $t\in\mathbb{R}$.

Que es

$$P(\frac{d}{dt})w=\begin{bmatrix}1+\frac{d^{2}}{dt^{2}} & -3-\frac{d}{dt}+\frac{d^{2}}{dt^{2}}+\frac{d^{3}}{dt^{3}}\\1-\frac{d}{dt} & -1+\frac{d}{dt}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\end{bmatrix}(t)=0$$

He calculado $\det P(\xi)=(\xi-1)^{2}(\xi+1)(\xi+2)$, las raíces de las cuales se $\lambda_{1,2}=\pm 1$$\lambda_{3}=-2$, $\lambda_{1}=1$ con multiplicidad 2.

No sé a dónde ir desde aquí, sin embargo. Creo que tengo que calcular los vectores propios, pero dada la naturaleza de mi matriz (que se compone de $\frac{d}{dt}$ más que en valores constantes) parece un poco complicado.

Edit: he intentado tomar la transformada de Fourier

$$\begin{cases}F(w_{1}(t))+F(\frac{d^{2}}{dt^{2}}w_{1}(t))-F(\frac{d}{dt}w_{2}(t))+F(\frac{d^{2}}{dt^{2}}w_{2}(t))+F(\frac{d^{3}}{dt^{3}}w_{2}(t))=0\\F(w_{1}(t))-F(\frac{d}{dt}w_{1}(t))-F(w_{2}(t))+F(\frac{d}{dt}w_{2}(t))=0\end{cases}$$

Para obtener

$$\begin{cases}\hat{w}_{1}(f)+(2\pi if)^{2}\hat{w}_{1}(f)-2\pi if\hat{w}_{2}(f)+(2\pi if)^{2}\hat{w}_{2}(f)+(2\pi if)^{3}\hat{w}_{2}(f)=0 \\ \hat{w}_{1}(f)-2\pi if\hat{w}_{1}(f)-\hat{w}_{2}(f)+2\pi if\hat{w}_{2}(f)=0\end{cases}$$

Pero cuando me simplificar, tengo

$$\begin{cases}(1-4\pi^{2}f^{2})\hat{w}_{1}(f)=(2\pi if+4\pi^{2}f^{2}+8\pi^{3}if^{3})\hat{w}_{2}(f) \\ (1-2\pi if)\hat{w}_{1}(f)=(1-2\pi if)\hat{w}_{2}(f)\end{cases}$$

Que no puede ser correcta, porque entonces tendríamos que $\hat{w}_{1}(f)=\hat{w}_{2}(f)$.

Edit 2:

(Corrección de Edición 2 Edición 3:

Para la segunda ecuación, tenemos $$\frac{d}{dt}(e^{-t}(w_{1}(t)-w_{2}(t)))=0$$

Ahora, conectar $w_{1}(t)=w_{2}(t)+ce^{t}$ en la primera ecuación rendimientos $$w_{2}(t)+ce^{t}+\frac{d^{2}}{dt^{2}}(w_{2}(t)+ce^{t})-3w_{2}-\frac{d}{dt}w_{2}+\frac{d^{2}}{dt^{2}}w_{2}+\frac{d^{3}}{dt^{3}}w_{2}=0$$

es decir, $$\frac{d^{3}}{dt^{3}}w_{2}(t)+2\frac{d^{2}}{dt^{2}}w_{2}(t)-\frac{d}{dt}w_{2}(t)-2w_{2}(t)=-2ce^{t}$$

En primer lugar, queremos calcular la parte homogénea de la ecuación. Que es $$\frac{d^{3}}{dt^{3}}w_{2}(t)+2\frac{d^{2}}{dt^{2}}w_{2}(t)-\frac{d}{dt}w_{2}(t)-2w_{2}(t)=0$$

La ecuación característica es $$r^{3}+2r^{2}-r-2=0$$ i.e. $$(r-1)(r+2)(r+1)=0$$

Por lo tanto obtenemos la solución general: $$w_{2}(t)_{h}=C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-t}+C_{3}e^{t}$$

Ahora quiero encontrar la solución particular, $w_{2}(t)_{p}$. La parte no homogénea es $f(t)=-2ce^{t}$

Tome $w_{2}(t)_{p}=-kte^{t}$. Entonces $\frac{d}{dt}w_{2}(t)_{p}=-kte^{t}-ke^{t}$; $\frac{d^{2}}{dt^{2}}w_{2}(t)_{p}=-kte^{t}-2ke^{t}$; $\frac{d^{3}}{dt^{3}}w_{2}(t)_{p}=-kte^{t}-3ke^{t}$.

$$-kte^{t}-3ke^{t}-2kte^{t}-4ke^{t}+kte^{t}+ke^{t}+2kte^{t}=-2ce^{t}$$

es decir, $$-6ke^{t}=2ce^{t}$$

Por lo $k=\frac{c}{3}$.

Que nos da la solución general $w_{2}(t)_{h}+w_{2}(t)_{p}$:

$$w_{2}(t)=C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-t}+C_{3}e^{t}-\frac{c}{3}te^{t}$$

Ahora conectamos $w_{2}(t)=w_{1}(t)-ce^{t}$ en la primera ecuación para obtener

$$w_{1}(t)+\frac{d^{2}}{dt^{2}}w_{1}(t)-3w_{1}(t)+3ce^{t}-\frac{d}{dt}w_{1}(t)-ce^{t}+\frac{d^{2}}{dt^{2}}w_{1}(t)-ce^{t}+\frac{d^{3}}{dt^{3}}w_{1}(t)-ce^{t}=0$$ i.e. $$\frac{d^{3}}{dt^{3}}w_{1}(t)+2\frac{d^{2}}{dt^{2}}w_{1}(t)-\frac{d}{dt}w_{1}(t)-2w_{1}(t)=-ce^{t}$$

La ecuación característica de la parte homogénea de la ecuación es $$r^{3}+2r^{2}-r-2=0$$ Again, we get $$w_{1}(t)_{h}=C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-t}+C_{3}e^{t}$$

Tome $w_{1}(t)_{p}=-kte^{t}$. La sustitución de da $-6ke^{t}=-ce^{t}$, lo $k=\frac{c}{6}$.

Por lo $w_{1}(t)_{p}=-\frac{c}{6}te^{t}$. Por lo tanto $$w_{1}(t)=C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-t}+C_{3}e^{t}-\frac{c}{6}te^{t}$$

Así que podemos escribir $$w(t)=\begin{bmatrix} w_{1}(t) \\ w_{2}(t) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} C_{3} \\ C_{3} \end{bmatrix}e^{t}+\begin{bmatrix} -\frac{c}{6} \\ -\frac{c}{3} \end{bmatrix}te^{t}+\begin{bmatrix} C_{1} \\ C_{1} \end{bmatrix}e^{-2t}+\begin{bmatrix} C_{2} \\ C_{2} \end{bmatrix}e^{-t}$$

Sin embargo, esta no es la solución que buscaba.

Answer 1

Si se introduce tres nuevas variables, $x_1$, $x_2$ y $y_2$ y el conjunto de ellos igual a $\frac{d}{dt}w_1$, $\frac{d}{dt}w_2$ y $\frac{d^2}{dt^2}w_2$ respectivamente, entonces usted puede escribir como un sistema de cinco acoplado de ecuaciones diferenciales lineales. Para hacer esto usted tiene que tomar la derivada de la segunda ecuación, volver a escribir como una expresión de $\frac{d^2}{dt^2}w_1$ y sustituimos en la primera. La primera ecuación, con la sustitución, puede entonces escribirse como una expresión de $\frac{d^3}{dt^3}w_2$, de tal manera que las dos ecuaciones son sólo una combinación lineal de los dos primeros y los tres introducido variables, sin derivados. El conjunto resultante de ecuaciones se puede escribir como la siguiente de cinco por cinco ecuación de matriz

$$ \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} w_1\\ x_1\\ w_2\\ x_2\\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 &-1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ -1&-1& 3 & 2 &-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_1\\ x_1\\ w_2\\ x_2\\ y_2 \end{bmatrix}. $$

Esto puede ser resuelto mediante la búsqueda de los valores y vectores propios, sin embargo esto también produce una estacionaria solución general, debido a un autovalores de cero. Sin embargo, esto no satisface la segunda ecuación, cuando se utiliza el correspondiente vector propio y puede ser explicado por el hecho de que la derivada de la segunda ecuación se utiliza. Por lo tanto, sólo hay cuatro soluciones generales y, por tanto, no todas las condiciones iniciales puede ser utilizado, que puede ser explicado por la segunda ecuación, porque no contiene alguna de las derivadas de orden más alto de $w_1$ o $w_2$.