Demostrar que la función es un bijection y encontrar la función inversa.

Question

Es mi respuesta correcta de la siguiente pregunta?

Demostrar que la función de $f : \mathbb{R} − {3} \to \mathbb{R} − {2}$ definido por $f(x) = \frac{2x−3}{x-3}$ es un bijection, y encontrar la función inversa. No necesito demostrar nada.

Para mostrar que es un bijection, tengo que demostrar que es uno a uno y sobre.

Una función es uno a uno iff. $f(a)=f(b)$ implica que el $a=b$

$\frac{2a-3}{a-3} =\frac{2b-3}{b-3}$

$(2a-3)(b-3)=(a-3)(2b-3)$

$2ab-6a-3b+9=2ab-3a-6b+9$

$-3b=-3a$

$b=a$

Cuando $f(a)=f(b)$, $b=a$, por lo tanto, esta función es uno a uno.

Una función es en el fib. para cada $b\in B$, hay un $a \in A$ tal que $f(a)=b$

Para cualquier $b\in R$-{2}, no $a\in R$-{3} tal que $f(a)=b$

Desde $f(x)$ es de uno a uno y sobre, es un bijection.

Cálculo de la inversa:

$f^{-1}(x)=f(y)$

$f(y)=x$

$x= \frac{2y-3}{y-3}$

$xy-2y=3x-3$

$y(x-2)=3x-3$

y= $\frac{3x-3}{x-2}$

Answer 1

Hay un par de piezas en su respuesta, de que son confusas:

Cuando demostrando $f$ es de 1-1, ha $(2a−3)(b−3)=(a−3)(2b−3)$ implica $b-3 = a-3$, pero no estoy seguro de cómo esté haciendo saltar. Yo en vez de eso debes tener en cuenta que: $$(2a-3)(b-3) = (a-3)(2b-3) \longrightarrow 2ab - 6a -3b + 9 = 2ab -3a -6b + 9$$ A continuación, mediante la cancelación de la $2ab$ y el 9, obtendrá $3b = 3a$ o $b=a$ como se desee.

Entonces, cuando se acredite que el $f$ a, tenemos que empezar con un valor de salida $y$ y demostrar que hay un $x$ en el dominio tal que $f(x) = y$. En su explicación, que hemos discutido para que $x$ valores de la función está bien definida, es decir, el dominio de la función.

En lugar de ello, nos vamos a $y \in \mathbb{R} - \{2\}$. A continuación,$y = \frac{2x-3}{x-3}$, lo $y(x-3) = 2x - 3$ o $3 - 3y = 2x - yx = (2-y)x$. A continuación,$x = \frac{3-3y}{2-y}$, lo cual está bien definido para todos los $y \in \mathbb{R}-\{2\}$. Nota demasiado que esta $x$ nunca 3, o tendríamos $6=3$. Por tanto, para todos $y$ en el rango, podemos encontrar $x \in \mathbb{R} - \{3\}$, $x = \frac{3-3y}{2-y}$ tal que $f(x) = y$, por lo que nuestra función es sobre.

Su función inversa es correcto para mí.

Answer 2

Para la inyectividad parte, usted dice $$(2a-3)(b-3)=(a-3)(2b-3),$$ and then jump to $$a-3=b-3.$$ no creo que la primera se sigue inmediatamente de la segunda. O si de alguna manera no estoy viendo, probablemente debería agregar algunos pasos intermedios.

Para surjectivity, usted necesita demostrar que para cada $b\in\mathbb R-\{2\}$, hay un $a\in\mathbb R-\{3\}$, de modo que $f(a)=b$. Lo que se demostró (o más bien, dijo) es que para todos los $a\in\mathbb R-\{3\}$, $f(a)\in\mathbb R$. Notar la diferencia? Examinar la definición de surjectivity de nuevo.