Ejemplo de campo $K$ con $\mathrm{char}(K) > 0 $, tal que $[K(\alpha):K] = [K(\beta):K]$ pero $K(\alpha) \not \cong K(\beta)$

Question

Me gustaría encontrar un ejemplo de campo $K$ y elementos $\alpha, \beta$ tales que $\mathrm{char}(K) = p>0$, $[K(\alpha):K] = [K(\beta):K]$ pero $K(\alpha) \not \cong K(\beta)$.

Obviamente, esto no puede funcionar si $K$ es un campo finito. Así que necesito encontrar un $K$ no finito. Los únicos que se me ocurren son $\mathbb F_p(t)$, $\mathbb F_p(t^p)$ y $\overline{\mathbb F}_p$ para $t$ un indeterminado, pero estoy teniendo dificultades para encontrar un ejemplo.

Cualquier pista sería muy apreciada.

Gracias

Answer 1

Intentemos salvar esta pregunta del Pozo del Olvido de Preguntas Sin Respuesta, siguiendo la solución ya detallada en los comentarios de Qiaochu y el OP Jonathan:

Tomemos $$K:=\mathbb F_3(t)\,,\,\alpha:=\sqrt{t}\,,\,\beta=\sqrt{-1}$$

Dado que $\,\alpha\,,\,\beta\notin K\,\,\,\text{pero}\,\,\alpha^2\,,\,\beta^2\in K\,$ , las extensiones $\,K(\alpha)\,,\,K(\beta)\,$ son ambas cuadráticas , por lo tanto $\,[K:K(\alpha)]=[K:K(\beta)]=2\,$, sin embargo estos dos campos no pueden ser isomorfos ya que, por ejemplo, $\,\beta\notin K(\alpha)\,$ (y viceversa)