Durante el entrenamiento para un olimpíadas de matemáticas(nivel universitario) me topé con el siguiente problema. Encontrar todos los $n, k \in \mathbb{N}$ tal que $${ n \choose 0 } + {n \choose 1}+{n \choose 2} + {n \choose 3} = 2^k.$$ Ahora he pensado acerca de dos formas de resolverlo. La primera es mediante la expansión de la izquierda para obtener un polinomio en $n$, y por este hallazgo restricciones en $n$$k$. La otra forma sería por el uso repetido de Pascal de la fórmula y el hecho de que $$2^j = \sum_{i=0}^j {j \choose i}$$ para todos los $j \in \mathbb{N}$. Ambos tienen no me ha dado ningún éxito. Estoy en una pista de la derecha? Me podrían dar algunos consejos, o de una tentativa de solución? Gracias de antemano.
Respuesta
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Suponga $n>3$.
La expansión de la LHS y la simplificación da $$\frac{1}{6}(n+1)(n^2-n+6) = 2^k.$$ Así, excepto por un factor de $3$ ambos $n+1$ $n^2+n-6$ son potencias de $2$. Si el factor de $3$$n+1$,$n = 3\cdot 2^r-1$$r\ge 1$, por lo que $$n^2+n-6 = (3\cdot 2^r-1)^2 - (3\cdot 2^r-1) + 6 = 8 - 3\cdot 2^4 + 9\cdot 2^{2r} - 3\cdot 2^{i+1} = 8(1 - 2^{r-3} - 2^r + 2^{2r} + 2^{2r-3}).$$ En orden para que esto sea una potencia de $2$, debemos tener $r=3$; de lo contrario el segundo factor es impar. $r=3$ da $n = 3\cdot 2^3-1 = 23$.
Alternativamente, el factor de $3$$n^2-n+6$, por lo que el $n+1 = 2^r$ es una potencia de $2$$r\ge 1$. Pero, a continuación, \begin{align*} n^2-n+6 &= (2^r-1)^2 - (2^r-1) + 6 = 2^{2r} - 3\cdot 2^r + 8 \\ &= 9 -3\cdot 2^r + (2^{2r}-1) \\ &= 9 - 3\cdot 2^r + 3(2^{2r-2}+2^{2r-4} + \ldots + 2^2 + 1) \\ &= 12 - 3\cdot 2^r + 3(2^{2r-2}+2^{2r-4}+\ldots + 2^2) \\ &= 3(4-2^r + 2^{2r-2}+2^{2r-4} + \ldots + 2^2) \\ &= 24(1-2^{r-3}+2^{2r-5}+2^{2r-7}+\ldots+ 2), \end{align*} y para que este ser $3$ multiplicado por una potencia de $2$, de nuevo hemos de tener $r=3$, por lo que el $n = 2^3-1=7$.
