Cómo conseguir un geométrica de morfismos de una sección? (Y de la pedagogía general sobre la clasificación de toposes)

Question

Deje $\mathcal{E}$ $\mathcal{F}$ ser toposes, $X$ un objeto de $\mathcal{E}$ $p: \mathcal{E}/X \rightarrow \mathcal{E}$ canónica geométrica de morfismos (cuya inversa parte de la imagen es retirada a lo largo de $p: X \rightarrow 1$.) Estoy tratando de averiguar la correspondencia entre geométricas morfismos $\mathcal{F} \rightarrow \mathcal{E}/X$ $\mathcal{E}$ y "global de las secciones" $1 \rightarrow f^*(X)$. Más precisamente, estoy buscando para establecer $$\text{Hom}_{\textbf{Topoi}/ \mathcal{E}} ( f: \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{E}, \mathcal{E}/X) \cong \text{Hom}_{\mathcal{F}} (1, f^{*} (X))$$

Dado un geométrica de morfismos $g$ es fácil obtener una sección. Simplemente se envía a $g$ a de la sección $$g^* (\Delta) : 1 \rightarrow g^*(\pi_2 : X \times X \rightarrow X) = g^* \circ p^* (X) = f^*(X) $$

donde $\pi_2$ es el estándar de proyección y $\Delta$ la diagonal mapa de $X \rightarrow X \times X$. (La idea es que el $\Delta$ es el universal sección, la clasificación de la identidad de $\mathcal{E}/X = \mathcal{E}/X$.)

Estoy teniendo algunas dificultades al calcular la inversa. Dada una sección de $s : 1 \rightarrow f^*(X)$ do obtener un geométrica de morfismos $\mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F}/f^*(X)$ y puedo ver que esto debería ser 'sendable' a$\mathcal{E}/X$, pero no puede encontrar una buena manera de hacer esto a través de un geométrica de morfismos (la pared que me mantenga golpear es que la unidad de mapa $\eta_X : X \rightarrow f_* f^*(X)$ induce un geométrica de morfismos en el "equivocado" de la dirección).

Así que supongo que mi primera pregunta es:

¿Cómo llega uno a la derecha a la izquierda de la correspondencia, es decir, a partir de secciones geométricas morfismos en este caso?

En general, yo también estoy interesada en saber cómo se debe generalmente creemos que la clasificación de estos problemas (la búsqueda de la clasificación de topoi de determinadas estructuras). Soy nuevo en el juego y en todos los casos me encuentro a mí me parece desprovisto de un principio general de ataque. En algunos casos parece mucho más fácil ir de 'puntos'/'individual de las estructuras geométricas morfismos. Por ejemplo, en geometría de los casos, un punto inmediatamente le da el tallo/rascacielos de contigüidad y, por tanto, una forma geométrica de morfismos. En otros casos, como el de arriba, donde la estructura universal que está claro, es mucho más fácil ir de geométrica de morfismos a un 'punto'/'estructura'.

Así que mi segunda pregunta es esta:

Hay una buena manera de pensar en atacar estos problemas? Se debe siempre intentar averiguar el universal la estructura de la primera? Debe uno pensar geométricamente? Cualquier sugerencia será muy apreciada...

(NOTA: entiendo que la segunda pregunta no es muy precisa, pero tampoco estoy buscando respuestas precisas.)

Por último, una pregunta extra: es la correspondencia en el problema anterior (la primera ecuación) es un tipo de contigüidad entre los functors $\textbf{Topoi}/\mathcal{E} \overset{\leftarrow}{\rightarrow} \mathcal{F}$ (donde $\mathcal{F}$ se encuentra sobre $\mathcal{E}$.) Se puede ver esto como una especie de contigüidad de esta manera? Sospecho que no, pero me gustaría saber si esto es un hecho más elegante de 2 categórica perspectiva...

Answer 1

Me permitirá cambiar la notación un poco. Deje $\mathcal{S}$ ser un topos, y deje $f : \mathcal{E} \to \mathcal{S}$ ser un geométrica de morfismos. Deje $\mathcal{S}_X = (\mathcal{S} \downarrow X)$. Estamos tratando de mirar los hom-categoría $$\textbf{Geom}_{\mathcal{S}}(\mathcal{E}, \mathcal{S}_X)$$ que es la plenitud de la subcategoría de $\textbf{Geom}(\mathcal{E}, \mathcal{S}_X)$ atravesado por geométricas morfismos $g : \mathcal{E} \to \mathcal{S}_X$ tal que $p \circ g \cong f$ donde $p : \mathcal{S}_X \to \mathcal{S}$ es la proyección canónica.

La situación en la que nos debe mantener en mente el caso de las $\mathcal{E} = \mathcal{S}_Y$ por algún otro objeto $Y$. Entonces, estamos simplemente mirando cambio de base a lo largo de algunos de morfismos $Y \to X$$\mathcal{S}$. Geométricas morfismos como $p : \mathcal{S}_X \to X$ son muy especiales: vienen como un triple de adjoint functors $$p_! \dashv p^* \dashv p_* : \mathcal{S}_X \to \mathcal{S}$$ y $p_! 1$ es canónicamente isomorfo a $X$. Por desgracia, $f : \mathcal{E} \to \mathcal{S}$ no se garantiza de esta forma, por lo que debemos encontrar un sustituto para $f_! 1$.

Pero, por el momento, nos deja imaginar tuvimos $f_! \dashv f^* \dashv f_*$ de la misma forma como $p_! \dashv p^* \dashv p_*$. Deje $x : 1 \to f^* X$ ser una de morfismos en $\mathcal{E}$. Que correspondería a un único morfismos $f_! 1 \to X$$\mathcal{S}$. Tome $Y$$\mathcal{S}_X$. Corresponde a un único morfismos $p_! Y \to X$$\mathcal{E}$. Queremos encontrar a la izquierda exacta a la izquierda adjunto functor $g^* : \mathcal{S}_X \to \mathcal{E}$, así que sólo hay una cosa que podemos hacer: tomar el cambio de base de a $p_! Y \to X$ a lo largo de $f_! 1 \to X$. Este "es" el objeto requerido en $\mathcal{E}$, excepto en $\mathcal{S}$ más que en $\mathcal{E}$. Ahora, aplique $f^*$ a la retirada de diagrama; desde $f^*$ exacto, tenemos un pullback diagrama en $\mathcal{E}$. Considere la posibilidad de la connaturalidad de la plaza de la unidad de $\textrm{id} \Rightarrow f^* f_!$: si $f_! \dashv f^* \dashv f_*$ proviene de cambio de base, entonces esto sería un retroceso de la plaza. Así que por el pullback pegar lema, podemos conseguir el cambio de base de a $p_! Y \to X$ a lo largo de $f_! \to X$ como un objeto en $\mathcal{E}$ tomando el cambio de base de a $f^* p_! Y \to f^* X$ a lo largo de $x : 1 \to f^* X$. Aviso de que se haya borrado toda mención de la $f_!$ por hacer esto!

Pero lo suficiente handwaving. Vamos a definir realmente el functor $g^*$ correctamente ahora. Escribir $x^* : \mathcal{E}_{f^* X} \to \mathcal{E}$ por cambio de base a lo largo de $x : 1 \to f^* X$. Uno puede comprobar que $f^* p_! : \mathcal{S}_X \to \mathcal{E}$ factores a través de la olvidadizo functor $\mathcal{E}_{f^* X} \to \mathcal{E}$; abusando de la notación ligeramente, también vamos a escribir $f^* p_!$ para el functor $\mathcal{S}_X \to \mathcal{E}_{f^* X}$. Esta es, obviamente, a la izquierda exacta, por lo que el compuesto $g^* = x^* f^* p_! : \mathcal{S}_X \to \mathcal{E}$ es también la izquierda exacta. En menos sofisticados términos, $g^*$ mapas de un objeto $Y$ $\mathcal{S}_X$ (es decir, de morfismos $p_! Y \to X$$\mathcal{S}$) para el objeto de $1 \times_{f^* X} f^* p_! Y$ $\mathcal{E}$ obtenido por el cambio de base de a $f^* p_! Y \to f^* X$ a lo largo de $x : 1 \to f^* X$. Uno puede verificar que el $g^*$ conserva todos colimits, por lo que tiene un derecho medico adjunto del adjunto functor teorema. Es fácil ver que $g^* \cong f^* p^*$, por lo que hemos deseado geométrica de morfismos.

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Su segunda pregunta acerca de cómo encontrar la clasificación de toposes merece una buena respuesta, pero me temo que no tengo el tiempo para escribir una ahora mismo. Ya que no está muy relacionada con la primera pregunta, tal vez sería mejor comenzar un nuevo hilo en él y ver si alguien contesta.