Una desigualdad de las derivadas

Question

Dejemos que $f:\;\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea diferenciable con $f(0)=0$ y $f''(0)$ existe y es positivo. Me gustaría demostrar que existe $x>0$ tal que $f(2x)>2f(x)$ .

Mi intento:

$$\begin{aligned}f''(x)&=\frac{1}{h}\Big(f'(x+h)-f'(x)\Big)+\frac{o(h)}{h}\\&=\frac{1}{h^2}\Big(f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)+o(h)\Big)+\frac{o(h)}{h}\end{aligned}$$

En $0:$

$$\begin{aligned}f''(0)&=\frac{1}{h^2}\Big(f(2h)-2f(h)\Big)+\frac{o(h)}{h^2}+\frac{o(h)}{h}\end{aligned}$$

Por lo tanto, $\lim_{h\to 0}\frac{1}{h^2}\Big(f(2h)-2f(h)\Big)>0$ por lo que debe existir $\epsilon>0$ tal que $\forall x\in (0,\epsilon),\;\frac{1}{x^2}\Big(f(2x)-2f(x)\Big)>0$ que da $f(2x)>2f(x)$ .

El problema es que no sé cómo lidiar con el $\frac{o(h)}{h^2}$ término (no sé cómo argumentar que se desvanece). ¿Puedo hacer esto más riguroso?

Answer 1

Por fin tengo la prueba para el caso general.

• Permítanme replantear claramente la hipótesis.

$f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ es diferenciable sobre $\mathbb R$ y dos veces diferenciable en $0$ , de tal manera que $f(0)=0$ y $f''(0)>0$ .

• Dejemos que $g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ definida de la siguiente manera: $$\forall x, g(x) =f(2x)-2f(x)$$

Entonces $$\forall x, g'(x) =2(f'(2x)-f'(x))$$

Observe que $g'(0)=0$

Veamos qué $g''(0)$ parece.

$$g''(0)=2\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(2x)-f'(x)}{x}=2\left( \lim_{x \rightarrow 0} \left(2\frac{f'(2x)-f'(0)}{2x} -\frac{f'(x)-f'(0)}{x}\right)\right)$$

Por lo tanto, $$g''(0)=2f''(0)$$

• Por la definición de límite existe $\delta>0$ tal que $$x\in]-\delta,\delta[ \Rightarrow \|\frac{g'(x)}{x} -2f''(0) \| < f''(0)$$

y de forma equivalente

$$x\in]-\delta,\delta[ \Rightarrow f''(0)< \frac{g'(x)}{x} < 3f''(0)$$

Por lo tanto, $$x\in[0,\delta[ \Rightarrow 0<f''(0)< g'(x)$$

Por lo tanto, $$x\in[0,\delta[ \Rightarrow 0< g'(x)$$

• Esto significa que $g$ es estrictamente creciente sobre $[0,\delta[$

Desde $g(0)=0$ y por definición de $g$ $$\forall x \in ]0,\delta[, f(2x)>2f(x)$$ .

Esto es incluso un poco más fuerte que lo que usted pidió.

Answer 2

Bajo los supuestos dados hay números $a$ y $b$ con $b>0$ tal que $$f(x)=a x+b x^2+o(x^2)\qquad(x\to0)\ .$$ De ello se desprende que $$f(2x)-2f(x)=2b x^2\bigl(1+o(1)\bigr)\qquad(x\to0)\ ,$$ lo que implica que $$f(2x)-2f(x)>0\qquad(0<x<h)$$ para algunos $h>0$ .