¿Si es similar a $A$ $-A^T$, es $A$ similar a una matriz antisimétrica?

Question

Supongamos que es de que $A$ $n \times n$-matriz con las entradas de algún campo $F$. Asumen que también que $A$ es similar a $-A^T$, es decir. $PAP^{-1} = -A^T$ % matriz invertible $P$. (Aquí $A^T$ denota la transpuesta de $A$.) ¿Sigue que $A$ es similar a una matriz antisimétrica?

Answer 1

Considerar el % de matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$. $A$ Diagonal, es similar a $A^T$ (trivial) y desde $A$ y $-A$ tienen los mismos valores propios, son similares. Por lo tanto es similar a $A$ $-A^T$.

Sin embargo, los valores propios de una matriz antisimétrica verdadera son puramente imaginario, así $A$ no es similar a uno de ellos.