Encuentre $f(2015)$ dados los valores que alcanza en $k=0,1,2,\cdots,1007$

Question

Dejemos que $f$ sea un polinomio de grado $1007$ tal que $f(k)=2^k$ para $k=0,1,2,\cdots, 1007$ . Determine $f(2015)$ .

Tomando $f(x)=\sum_{n=0}^{1007} a_n x^n $ (de ahí que $a_0=1$ ), intenté combinar $$a_1=1-\sum_{n=2}^{1007} a_n$$ y la fácilmente derivable $$ a_n = \frac{2^n-1}{n^n} - \sum_{k=1}^{n-1} a_k n^{k-n} - \sum_{k=n+1}^{1007} a_k n^{k-n},$$ esperando encontrar varios coeficientes nulos, pero no funcionó. Busqué la solución en Yahoo Respuestas, y llegué a saber que se trata de coeficientes binomiales, Tartaglia en particular; sin embargo la explicación me resulta confusa, me gustaría una mejor, o incluso un enfoque diferente.

Answer 1

No es difícil adivinar cuál es la representación de $f(x)$ con respecto a la base del binomio.

Para personas intrépidas a las que no les gusta adivinar, Interpolación de Lagrange da:

$$ f(x) = \sum_{j=0}^{1007} 2^j\cdot\,\!\!\!\!\! \prod_{\substack{k\in[0,1007]\\k\neq j}}\frac{(x-k)}{(j-k)}=\sum_{j=0}^{1007}\frac{2^j}{x-j}\cdot 1008!\binom{x}{1008}\cdot\frac{(-1)^j}{j!(1007-j)!} \tag{1}$$ por lo tanto: $$ f(2015)=\sum_{j=0}^{1007}\frac{(-2)^j\cdot 1008}{2015-j}\binom{2015}{1008}\binom{1007}{j}$$ o: $$ f(2015)=2^{1007}\binom{2015}{1008}\sum_{j=0}^{1007}\frac{(-1)^j\cdot 1008}{2^j\cdot(1008+j)}\binom{1007}{j}, \tag{2}$$ pero: $$\begin{eqnarray*}\sum_{j=0}^{1007}\frac{(-1)^j}{2^j(1008+j)}\binom{1007}{j}&=&2^{1008}\int_{0}^{1/2}x^{1007}(1-x)^{1007}\,dx\\&=&2^{1007}\frac{\Gamma(1008)\Gamma(1008)}{\Gamma(2016)}\\&=&\frac{2^{1007}}{1008}\cdot\frac{1}{\binom{2015}{1008}}\tag{3}\end{eqnarray*} $$ por la función beta de Euler, por lo que la línea $(3)$ se simplifica muy bien:

$$ f(2015)=2^{2014}.\tag{4} $$

Answer 2

Una pista: $f(x)=\sum_{r=0}^{1007}\,\binom{x}{r}$ , donde $\binom{x}{r}:=\frac{x(x-1)\cdots(x-r+1)}{r!}$ para cada número entero positivo $r$ y $\binom{x}{0}:=1$ satisface la condición requerida. Demuestre que es el único que satisface esta propiedad. A continuación, verifique que $f(2015)=2^{2014}$ .

Answer 3

Básicamente se supone que debes adivinar que desde $f(x) \approx 2^x = (1 + 1)^k = \sum_{k=0}^{x} {x \choose k} 1^k 1^{x - k}$ , que tal vez pueda recortar la serie en $1008$ términos para obtener $f(x) = \sum_{k = 0}^{1007} {x \choose k}$ .

Entonces utiliza el hecho de que ${x \choose k} = {x \choose x - k}$ para conseguir $$\sum_{k = 0}^{1007} {x \choose k} = \frac 12 \sum_{k = 0}^{2015} {x \choose k}$$

y aplicar de nuevo la suma binomial con

$$\sum_{k = 0}^{2015} {x \choose k} = \sum_{k = 0}^{2015} {x \choose k} 1^k 1^{2015 - k} = (1 +1)^{2015}$$