Posible duplicado:
$a^{1/2}$ es un número entero o irracional.¿Cada$n^{th}$% raíz de$2$ será un número irracional? Si es así, ¿cómo puedo probar eso?
Respuestas
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Lorin Hochstein
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Sí. De hecho, para cada entero $k$ y cada una de las $n\gt 1$, $n$th raíz de $k$ es un número entero o irracional.
Una manera de demostrarlo es utilizar exactamente la misma idea que para probar la existencia de la raíz cuadrada de $2$ es irracional: supongamos $\sqrt[n]{k} =\frac{p}{q}$, $p$ $q$ enteros, relativamente primos. A continuación,$q^nk = p^n$. Ahora pensemos en el primer factorizations: cada primer que divide $q$ debe dividir $p$, pero $p$ $q$ son relativamente primos, por lo $q=1$. Eso significa que usted debe tener $k=p^n$ $p$ un entero. Es decir, la única manera para que el $n$th raíz de $k$ ser racional es si $k$ $n$la potencia de un número entero.
O puede utilizar la Raíz Racional de la Prueba: $n$th raíz de $k$ es una raíz del polinomio $x^n - k$. Pero racional de la raíz de un polinomio con coeficientes enteros que está escrito en el menor plazo $\frac{p}{q}$ debe tener denominador $q$ que se divide el coeficiente inicial y el numerador $q$ que se divide el coeficiente constante. Para cualquier racional raíz de $x^n-k$ debe ser un entero.
Llegar de regreso a su pregunta, ya que el $2$ no es un $n$la potencia de un número entero para cualquier $n\gt 0$, $\sqrt[n]{2}$ no es un racional para cualquier entero $n\gt 0$.
David HAust
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Si $\rm\ \sqrt[n] c = a/b,\ \ gcd(a,b) = 1\ $ $\rm\ c\ b^n = a^n\ \Rightarrow \ b\:|\: a^n\:.\: $ Pero $\rm\ gcd(a,b) = 1\ \Rightarrow\ gcd(a^n,b) = 1\ $ por Euclides del Lexema. Por lo tanto $\rm b = 1\ $ por lo tanto $\rm\:\ c \ =\ a^n\:.\ $, En particular, $\rm\ c = 2\ \Rightarrow\ n = 1\:.$
Hay muchas variaciones posibles en tal irracionalidad de las pruebas, por ejemplo, el uso de la Raíz Racional de la Prueba o directamente mediante el uso Exclusivo de la Factorización de enteros, o utilizando el principado de denominador ideales. Quizás la más elegante es emplear Dedekind la noción de que el conductor ideal - que los rendimientos de una línea de prueba de que un $\rm PID$ es integralmente cerrado, es decir, satisface la monic caso de la raíz racional de la prueba.
