Demuestra que $a+1 < a^2$ para todos los números enteros $a > 1$

Question

Sé que es verdad, pero ¿cómo podría probarlo?
$$a^2-(a+1)>0$$ $$a^2 - a -1 >0$$ a través de una solución gráfica $a^2-1-1>0$ cuando $a>$ aprox. $1.68$ ...así dado $a$ es un número entero $>1$ la declaración es cierta.

¿Se puede hacer sin una solución gráfica?

Answer 1

Fíjate en que $(x-1)^2 \gt0 $ ya que es un cuadrado y $x \ne1 $ . Por lo tanto

$$x^2-2x+1 \gt0 $$ $$x^2 \gt2x -1$$ Y como $x \ge2 $ , $$x^2 \gt x+x-1 \ge x+2-1$$

$$x^2 \gt x+1$$

Answer 2

Desde $x^2-x-1=(x-1)^2+(x-2)>0$ para $x \ge2 $ , $\;\;\;x^2>x+1$

Answer 3

No ha aparecido ninguna prueba por inducción, así que aquí hay una.

La declaración es cierta para $a=2$ porque $2+1<2^2$ .

Supongamos que la declaración es cierta para algún número entero $a \ge 2$ En otras palabras, asumimos que $a+1<a^2$ Entonces $$ (a+1)+1<a^2+1<a^2+2a+1=(a+1)^2. $$

Rellene los detalles.

Answer 4

$x + 1 < x^2 \ \Longleftrightarrow \ x^2 - x - 1 > 0 \ \Longleftrightarrow \ x^2 - x +1/4 - 5/4 > 0 \ \Longleftrightarrow $

$$(x -1/2)^2 > 5/4$$

que está implícito en

$$x - 1/4 > \sqrt {5}/2$$

Esta última relación es verdadera ya que $x \geq 2 > \sqrt {5}/2 + 1/4$

Answer 5

Tenemos $$ x^2>x+1 \\ x^2-x-1>0 \\ x^2-2x+1+x-2>0 \\ (x-1)^2+x-2>0 $$ donde el último es obviamente cierto si $x \geq2 $ .