¿Puede alguien comprobar mi solución para este ejercicio?
Dejemos que $F:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ sea dada por $F(x,y,z) = \alpha xz + x\arctan(z) + z\sin(2x+y) -1.$
Demostrar que una función $z=f(x,y)$ puede definirse en torno a $(0, \pi/2,1)$ y encontrar $\alpha$ tal que $(0, \pi/2)$ es un punto crítico de $f$ .
Para demostrar que $z=f(x,y)$ puede definirse en torno a $(0,\pi/2,1)$ Debo aplicar el teorema de la función implícita, es decir, debo comprobar que $F(0,\pi/2,1)=0$ y $\displaystyle\frac{\partial F}{\partial z}(0,\pi/2,1) \neq .0$
Tengo $F(0,\pi/2,1) = \alpha(0)(1) + (0)\arctan(1) + (1)\sin(\pi/2) -1 = 0$ y también $\displaystyle\frac{\partial F}{\partial z} = \alpha x + \displaystyle\frac{x}{1+z^2}+\sin(2x+y)$ lo que significa que $\displaystyle\frac{\partial F}{\partial z}(0,\pi/2,1) = \sin(\pi/2) = 1 \neq 0$ . Entonces por el teorema de la función implícita una función $z=f(x,y)$ se puede definir.
Ahora a encontrar $\alpha$ tal que $(0,\pi/2)$ es un punto crítico, esto significa que debe ser $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ .
Teniendo en cuenta que $\displaystyle\frac{\partial F}{\partial x} = \alpha z + \arctan z + 2z\cos(2x+y), \displaystyle\frac{\partial F}{\partial y} = z\cos(2x+y)$ y
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = \displaystyle\frac{\frac{\partial F}{\partial x} (x,y,f(x,y))}{\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,f(x,y))}$ , $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = \displaystyle\frac{\frac{\partial F}{\partial y} (x,y,f(x,y))}{\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,f(x,y))}$ .
Si $(x,y) = (0,\pi/2)$ entonces $F(x,y,z) = 0$ implica que $z=1$ . También $\displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}(0,\pi/2,1) = \alpha + \arctan(1), \displaystyle\frac{\partial F}{\partial y}(0,\pi/2,1) = 0$ y $\displaystyle\frac{\partial F}{\partial z}(0,\pi/2,1) = 1$ .
Así, $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ y $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = \alpha + \arctan(1) \implies \alpha = -1$
¿Me estoy perdiendo algo?
