Incluso su primera parte no es del todo correcta. $x + yi = \{(x,\ y)\}$ parece decir que $x+yi$ es el conjunto cuyo único elemento es el par ordenado $(x,y)$ -- pero normalmente se define un número complejo como ese par ordenado sí mismo . Es decir, si se utiliza la definición de números complejos como pares ordenados en primer lugar, lo cual es habitual pero no la única forma de hacerlo. También se podrían definir los números complejos como clases de residuos en el anillo cociente $\mathbb R[X]/(X^2+1)$ o como matrices reales de la forma $\pmatrix{a&b\\-b&a}$ por ejemplo.
La segunda parte de su pregunta es más interesante. (Tu uso de los símbolos no es el adecuado, como ya han señalado otros, pero no voy a insistir en ello). La convención de que los números reales "son iguales a" ciertos números complejos parece bastante sospechosa cuando esos mismos números complejos se definen como estructuras que contienen los números reales en primer lugar.
Lo que se suele hacer al respecto es barrerlo debajo de la alfombra en la medida de lo posible. En el mejor de los casos, el libro de texto contendrá una observación de que lo que realmente significa que hay una inyección $\mathbb R\to\mathbb C$ que preserva el comportamiento de los números reales. A partir de ahí, se supone tácitamente que el lector no pierde de vista qué es qué e inserta mentalmente aplicaciones "invisibles" de esa inyección en las fórmulas según sea necesario para que tengan sentido.
Esto parece funcionar bien en la práctica, al menos en la medida en que los matemáticos en activo no creen que confunda ellos y suelen ser capaces de señalar exactamente dónde se necesitan las reinterpretaciones, siempre que uno pueda comunicarles qué es lo que quiere, porque la petición es tan rara que resulta "extraña". Pero nadie duda seriamente de que las matemáticas, tal y como se hacen habitualmente puede formalizarse con conversiones explícitas entre $\mathbb R$ y $\mathbb C$ si uno se esfuerza.
Aun así, no creo que sea realmente satisfactorio que nadie parezca querer hacer el esfuerzo de formalizar algunas reglas que rijan esta reinterpretación implícita. Creo que sería bastante factible, tomando prestadas las técnicas bastante potentes que se han desarrollado en informática para los sistemas de tipos de los lenguajes de programación. Pero eso es cosa mía y no algo que parezca preocupar a las matemáticas en general.
Por cierto, no son sólo los números complejos los que presentan el problema. Nos encontramos exactamente con la misma situación cuando utilizamos los números racionales para construir los reales (utilizando cortes Dedekind o secuencias de Cauchy) y luego declaramos que algunos de esos números reales son iguales a ciertos racionales. O cuando usamos números enteros para construir los racionales (que contienen a los enteros), o usamos los números naturales para construir los enteros (que contienen a los naturales).
